Геометрические фигуры и их свойства

Параллелогра́мм — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых^[1].

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб^[1].

• Противолежащие стороны параллелограмма равны.
• Противолежащие углы параллелограмма равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
• Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:

  ${\displaystyle \left|AO\right|=\left|OC\right|,\left|BO\right|=\left|OD\right|}$.

• Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
• Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
• Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
• Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть

${\displaystyle a}$ — длина стороны ${\displaystyle AB}$,

${\displaystyle b}$ — длина стороны ${\displaystyle BC}$,

${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ — длины диагоналей; тогда

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).}$

Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

1. У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: ${\displaystyle AB=CD,AB\parallel CD}$.
2. Все противоположные углы попарно равны: ${\displaystyle \angle A=\angle C,\angle B=\angle D}$.
3. У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: ${\displaystyle AB=CD,BC=DA}$.
4. Все противоположные стороны попарно параллельны: ${\displaystyle AB\parallel CD,BC\parallel DA}$.
5. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: ${\displaystyle AO=OC,BO=OD}$.
6. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.
7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: ${\displaystyle AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}}$.

• Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

${\displaystyle S=bh}$ , где ${\displaystyle b}$ — сторона, ${\displaystyle h}$ — высота, проведённая к этой стороне.

• Площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними:

${\displaystyle S=ab\sin \alpha ,}$

где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — смежные стороны, ${\displaystyle \alpha }$ — угол между сторонами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.

• Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны ${\displaystyle a,\ b}$ и длину любой из диагоналей ${\displaystyle d}$ по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников^[2]:

${\displaystyle S=2\cdot {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-d)}}}$

где ${\displaystyle p=(a+b+d)/2.}$

Правильный четырехугольник — это квадрат. У всех правильных фигур равны стороны и равны углы. Квадрат можно назвать частным случаем параллелограмма, поскольку все свойства и признаки параллелограмма видны и у квадрата.

Далее в этом разделе ${\displaystyle a}$ обозначает длину стороны квадрата, ${\displaystyle d}$ — длину диагонали, ${\displaystyle R}$ — радиус описанной окружности, ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности.

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали ${\displaystyle d=a{\sqrt {2}}.}$

Периметр квадрата ${\displaystyle P}$ равен:

${\displaystyle P=4a=4{\sqrt {2}}R=8r}$.

Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:

${\displaystyle r={\frac {a}{2}}.}$

Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}a.}$

Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.

Площадь ${\displaystyle S}$ квадрата равна

${\displaystyle S=a^{2}=2R^{2}=4r^{2}={1 \over 2}d^{2}}$.

Из формулы ${\displaystyle S=a^{2},}$ связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «возведением в квадрат», а результаты такого возведения называются «квадратными числами» или просто квадратами. Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем.

Квадрат имеет два замечательных свойства^[3].

1. Из всех четырёхугольников с заданным периметром квадрат имеет наибольшую площадь.
2. Из всех четырёхугольников с заданной площадью квадрат имеет наименьший периметр.

Прямоуго́льник — четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90°)^[1].

Слово «прямоугольник» является переводом лат. rectangulus, которое, в свою очередь, представляет собой комбинацию лат. «rectus» (прямой, правильный) и лат. «angulus» (угол)^[4].

В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые, тогда четвёртый угол в силу теоремы о сумме углов многоугольника также будет равен 90°.

В геометрии доказывается, что две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, параллельны между собой^[5]. Применив эту теорему к противоположным сторонам прямоугольника, перпендикулярным смежным с ними сторонам, получаем, что противоположные стороны прямоугольника параллельны, поэтому каждый прямоугольник является параллелограммом.

В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360°, прямоугольников в указанном приведённым определением смысле не существует, однако можно определить их обобщения.

• Противоположные стороны прямоугольника равны.
• Стороны прямоугольника являются его высотами. Середины сторон прямоугольника образуют ромб.
• У прямоугольника есть две оси симметрии — это прямые, проходящие через середины противоположных сторон.
• Диагонали прямоугольника равны.
• Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.
• Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (по теореме Пифагора).
• Около любого прямоугольника можно описать окружность, причём диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности (радиус равен полудиагонали).

Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон, а шириной — длину более короткой пары сторон.

• Площадь прямоугольника равна произведению длины прямоугольника на его ширину.
• Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и длины.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны^[6].

• Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны: АВ || CD, AD || ВС. Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
• Высоты в ромбе равны между собой.
• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре конгруэнтных прямоугольных треугольника.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
• Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).
• Середины четырёх сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
• Диагонали ромба являются осями его симметрии.
• В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Параллелограмм ${\displaystyle ABCD}$ является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий^[7]:

• Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны).
• Его диагонали пересекаются под прямым углом.
• Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам. Другими словами, диагональ является биссектрисой противоположных углов.
• Диагонали параллелограмма делят его на четыре равных между собой треугольника.
• Диагонали параллелограмма являются осями симметрии^[8].

Из определения квадрата, как четырёхугольника, у которого все стороны и углы равны, следует, что квадрат — частный случай ромба. Иногда квадрат определяют, как ромб, у которого все углы равны.

Однако иногда под ромбом может пониматься только четырёхугольник с непрямыми углами, то есть с парой острых и парой тупых углов^[9][10].

• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

${\displaystyle S={\dfrac {AC\cdot BD}{2}}}$

• Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

${\displaystyle S=a\cdot h}$

• Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:

${\displaystyle S=a^{2}\cdot \sin \alpha }$,

где ${\displaystyle \alpha }$ — угол между двумя смежными сторонами ромба.

• Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle S={\dfrac {4r^{2}}{\sin \alpha }};}$

• Площадь ромба равна удвоенному произведению стороны и радиуса вписанной окружности:

${\displaystyle S=2ar.}$