Теорема Бойяи — Гервина

Пусть ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — два многоугольника с одинаковой площадью. Тогда их можно разрезать соответственно на многоугольники ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$ и ${\displaystyle B_{1},B_{2},\dots ,B_{n}}$, так что для любого ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ многоугольник ${\displaystyle A_{i}}$ конгруэнтен ${\displaystyle B_{i}}$.

Главным фактом, используемым в доказательстве, является транзитивность равносоставленности, то есть утверждение о том, что если многоугольник ${\displaystyle P}$ равносоставлен ${\displaystyle Q}$ и многоугольник ${\displaystyle Q}$ равносоставлен ${\displaystyle R}$, то ${\displaystyle P}$ равносоставлен ${\displaystyle R}$. Это утверждение очевидно, если рассмотреть разбиение многоугольника ${\displaystyle Q}$ одновременно по всей совокупности разделяющих линий, определяющих его разбиение при обоих переходах ${\displaystyle P\to Q}$ и ${\displaystyle Q\to R}$.

Пользуясь этой леммой, теорему можно свести к более простой:

Последнее утверждение доказывается пошагово сведением задачи к разным частным случаям. Во-первых, рассматривается триангуляция многоугольника, что позволяет свести задачу к аналогичному утверждению только для треугольников (получившиеся прямоугольники можно будет просто соединить ввиду одинаковой высоты). Далее треугольник через отсечение верхней части, разбиении её на две части по линии высоты и приклеивание их по бокам к нижней части оказывается равносоставлен некоторому прямоугольнику.

Последним шагом в доказательстве теоремы является доказательство равносоставленности любых двух прямоугольников одинаковой площади. Это достигается через указание равносоставленности всех параллелограммов с одинаковой длиной основания, и через преобразование таким образом одного прямоугольника в параллелограмм с длиной боковой стороны, равной одной из сторон второго прямоугольника.

• Понятие равносоставленности в этой теореме отличается от равносоставленности в парадоксе удвоения шара, где позволяется «разрезать» на произвольные непересекающиеся подмножества.
• Аналогичная теорема в трёхмерном Евклидовом пространстве уже не верна, этот вопрос является третьей проблемой Гильберта.

Теорема о равновеликих треугольниках, которая позже стала известна как теорема Бойяи — Гервина, была доказана в 1807 году Уоллесом^[1]. Теорема названа в честь Уильяма Уоллеса, Фаркаша Бояи и Пола Гервина. Называется 1833-й год, как вероятный год, когда Пол Гервин независимо от Бояи и Уильяма Уоллеса доказал выше указанную теорему.