Высота (геометрия)

В элементарной геометрии термин «высота» употребляется как для обозначения перпендикулярного отрезка, связанного с плоской фигурой, так и для обозначения расстояния между соответствующими элементами пространственного тела.

Высота параллелограмма — перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей одну сторону, на прямую, содержащую противоположную сторону. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне^[5]:

${\displaystyle S=a\cdot h_{a},}$

откуда ${\displaystyle h_{a}=S/a}$. Если известны сторона ${\displaystyle b}$ и острый угол ${\displaystyle \alpha }$ параллелограмма, то высота, проведённая к стороне ${\displaystyle a}$, равна ${\displaystyle h_{a}=b\sin \alpha }$^[6].

Высота трапеции — перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей одно из оснований, на прямую, содержащую другое основание^[7]. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту^[8]:

${\displaystyle S={\frac {a+b}{2}}\cdot h,\qquad h={\frac {2S}{a+b}},}$

где ${\displaystyle a,b}$ — основания, ${\displaystyle h}$ — высота.

Высота призмы — перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания^[9]. Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к основаниям, призма называется прямой, и её высота равна боковому ребру; в противном случае призма наклонная, и её высота меньше бокового ребра^[10].

Высота пирамиды — перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания^[11]. В наклонной пирамиде высота меньше бокового ребра; в правильной пирамиде высота совпадает с осью симметрии.

Высота усечённой пирамиды — перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания^[12].

Высота цилиндра — длина образующей, то есть расстояние между плоскостями оснований^[13].

Высота конуса — отрезок оси конуса между его вершиной и основанием^[14].

Высота усечённого конуса — отрезок, соединяющий центры его оснований^[15].

${\displaystyle V_{\text{призмы}}=S_{\text{осн}}\cdot h}$ — для любой призмы, в том числе наклонной^[16];

${\displaystyle V_{\text{пирамиды}}={\tfrac {1}{3}}S_{\text{осн}}\cdot h}$^[17];

${\displaystyle V_{\text{усечённой пирамиды}}={\tfrac {1}{3}}h\left(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}}\right)}$^[18];

${\displaystyle V_{\text{конуса}}={\tfrac {1}{3}}\pi R^{2}h}$^[19];

${\displaystyle V_{\text{усечённого конуса}}={\tfrac {1}{3}}\pi h\left(R^{2}+Rr+r^{2}\right)}$^[20].

Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на соответствующее основание. Кроме формулы, удобной для расчёта площади, из этого также следует, что длины высот треугольника обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон.

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

1. Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямую, лежащую в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
2. Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который может пройти жёсткая треугольная пластина, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
3. При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, если они встречаются хотя бы дважды, тогда максимальное расстояние между точками во время их движения не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.

Планиметрия: фигуры
Фигура	Формула	Что нужно для задачи
Произвольный треугольник	${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah_{a}}$	Найти площадь или высоту
Прямоугольный треугольник	${\displaystyle h={\frac {ab}{c}}}$; ${\displaystyle h^{2}=a_{c}\cdot b_{c}}$	Высота к гипотенузе через катеты или проекции
Равносторонний треугольник	${\displaystyle h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}}$	Высота по стороне
Параллелограмм	${\displaystyle S=ah_{a}=bh_{b}}$	Площадь через сторону и высоту
Трапеция	${\displaystyle S={\frac {a+b}{2}}h}$	Площадь через основания и высоту

Стереометрия: тела
Тело	Формула	Примечание
Призма / Цилиндр	${\displaystyle V=S_{\text{осн}}h}$	${\displaystyle S_{\text{осн}}}$ — площадь основания
Пирамида / Конус	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}S_{\text{осн}}h}$	${\displaystyle S_{\text{осн}}}$ — площадь основания

Планиметрия: поиск величины
Что ищем	Формула	Примечание / Ссылка на ФИПИ
Площадь треугольника	${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah_{a}}$	${\displaystyle a}$ — сторона, ${\displaystyle h_{a}}$ — высота к ней.
Площадь параллелограмма	${\displaystyle S=ah_{a}}$	${\displaystyle a}$ — сторона, ${\displaystyle h_{a}}$ — высота к ней.
Площадь трапеции	${\displaystyle S={\frac {a+b}{2}}h}$	${\displaystyle a,b}$ — основания.
Высота равностороннего треугольника	${\displaystyle h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}}$	${\displaystyle a}$ — сторона.
Высота в прямоугольном треугольнике	${\displaystyle h={\frac {ab}{c}}}$ или ${\displaystyle h^{2}=a_{c}\cdot b_{c}}$	${\displaystyle a,b}$ — катеты, ${\displaystyle c}$ — гипотенуза.

Стереометрия: поиск величины
Что ищем	Формула	Примечание / Ссылка на ФИПИ
Объём призмы / цилиндра	${\displaystyle V=S_{\text{осн}}h}$	${\displaystyle S_{\text{осн}}}$ — площадь основания.
Объём пирамиды / конуса	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}S_{\text{осн}}h}$	${\displaystyle S_{\text{осн}}}$ — площадь основания.