Антибиссектриса
Антибиссектри́са угла треугольника[1] (от лат. anti, bi- «двойное» и sectio «разрезание») — луч, выходящий из вершины угла и являющийся геометрическим местом точек, расстояния от которых до сторон этого угла обратно пропорциональны квадратам длин прилежащих сторон.
В треугольнике под антибиссектрисой угла может также пониматься отрезок антибиссектрисы этого угла до её пересечения с противолежащей стороной.
Как и биссектрисы, антибиссектрисы можно провести не только к внутренним, но и к внешним углам треугольника. При этом сохраняется свойство их взаимной изотомичности или изотомической сопряжённости.
История
Антибиссектрисы треугольника впервые введены Óканем (D’Ocagne).
Свойства
- Теорема об антибиссектрисе: Антибиссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, обратно пропорциональном длинам двух прилежащих к ней сторон.
- Антибиссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону изотомически по отношению к биссектрисе того же угла.
- Две чевианы (прямые) треугольника, будучи проведёнными из одной вершины, основания которых равноудалены от середины стороны, которую они пересекают, называются изотомически сопряжёнными или изотомическими. Биссектриса и антибиссектриса одного внутреннего угла треугольника изотомически сопряжены друг другу.
- Антибиссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре антибиссектрис.
- Отрезки сторон треугольника, заключённые между прямыми, проведёнными через центр антибиссектрис параллельно сторонам, равны между собой.
- Антибиссектриса треугольника проходит через основание биссектрисы дополнительного треугольника.
Примечания
Литература
- Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — 153 с.
- Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год. § 52.