Трилинейные поляры треугольника

Трилинейная поляра EDF пересекает три продолжения трёх сторон опорного треугольника ABC в трёх точках так, что вместе с двумя концами сторон треугольника и с соответствующим основанием одной из трёх чевиан образует гармоническую четвёрку точек, лежащих на каждой из трёх сторон, включая их продолжения. На рис. справа выше это — три гармонические четвёрки точек: 1) B,C',A,F, 2) B,A',C,D, 3) A,B',C,E.

• Трилинейной полярой центра вписанной окружности (инцентра) служит ось внешних биссектрис или антиортовая ось DEF(antiorthic axis) (см. рис.). На ней лежат все три основания D, E и F трёх внешних биссектрис соответственно AD, CE и BF внешних углов треугольника ABC.

• Ортоцентрическая ось (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра (см. рис.)

• Бесконечно удалённая прямая — трилинейная поляра центроида (см. рис.)

• Трилинейная полярой точки Лемуана служит ось Лемуана (см. рис.)

• Трилинейная полярой центра описанной окружности служит прямая EDF (см. рис.)

• Трилинейнай полярой точки Коснита, изогонально сопряжённой для центра окружности девяти точек, служит прямая EDF (см. рис.)

• Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид)
• Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности. Это означает то, что если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке ${\displaystyle X}$, лежит на трилинейной поляре точки ${\displaystyle Y}$, тогда трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке ${\displaystyle Y}$ лежит на трилинейной поляре точки ${\displaystyle X}$.

Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра показана красным цветом.

• Существуют также понятие поляры точки P относительно невырожденной кривой второго порядка.
• Трилинейная поляра точки Y, изогонально сопряжённой для точки X треугольника, называется центральной линией точки X^[1][2].