Квадратный корень

Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в трудах вавилонских математиков (II тысячелетие до н. э.)^[4]:

• применение теоремы Пифагора для нахождения стороны прямоугольного треугольника по двум другим сторонам;
• нахождение стороны квадрата по его площади;
• решение квадратных уравнений.

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 из коллекции Йельского университета (создана между 1800 и 1600 годами до н. э.) содержит схему квадрата с его диагональю и числа в шестидесятеричной системе: 1;24,51,10 и 0;42,25,35^[5].)^[6]. Первое число

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1{,}41421296\dots }$

— приближение ${\displaystyle {\sqrt {2}}=1{,}41421356\dots }$ с ошибкой около ${\displaystyle 6\cdot 10^{-7}}$ (верны пять десятичных знаков); второе — приближение ${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$. Вавилоняне, таким образом, знали коэффициент ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ с точностью, достаточной для практических вычислений; в их задачниках сохранился и численный метод извлечения корня — по существу, итерационная формула, эквивалентная позднейшей формуле Герона^[4] (см. раздел «Алгоритмы вычисления»). Аналогичные задачи и методы встречаются в древнекитайской «Математике в девяти книгах» (около II в. до н. э.)^[7].

Древние греки, приняв геометрическую точку зрения (числа — отрезки; корень — сторона квадрата данной площади), сделали фундаментальное открытие: диагональ единичного квадрата, то есть ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, несоизмерима с его стороной — это первое иррациональное число (по преданию, открытие приписывают Гиппасу из Метапонта). Систематическое исследование, выполненное Теэтетом Афинским (IV век до н. э.), показало, что если корень из натурального числа не извлекается нацело, то его значение иррационально; результаты Теэтета изложены в X и XIII книгах «Начал» Евклида (около 300 г. до н. э.)^[8][9][10].

Средневековые европейские математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень символом ${\displaystyle R_{x}}$ — сокращением от слова radix («корень»)^[11]. Современное обозначение ${\displaystyle {\sqrt {\ }}}$ впервые использовал немецкий математик Кристоф Рудольф из школы коссистов (алгебраистов) в книге «Coss» (1525)^[12]; символ происходит от стилизованной первой буквы r слова radix. Черта над подкоренным выражением (винкулум) поначалу отсутствовала; её ввёл Декарт в «Геометрии» (1637)^[13] — впрочем, поначалу вместо скобок; позднее черта слилась со знаком корня в единый символ^[14].

После появления формулы Кардано (1545) в математике начали применяться мнимые числа, понимаемые как квадратные корни из отрицательных чисел; основы техники действий с ними разработал Рафаэль Бомбелли^[15], предложивший и оригинальный метод вычисления корней с помощью цепных дробей. Открытие формулы Муавра (1707) показало, что извлечение корня любой степени из комплексного числа всегда возможно и не выводит за пределы комплексных чисел^[16]. В начале XIX века теорию корней в комплексной области завершил Гаусс, а Галуа доказал, что не все алгебраические числа выражаются через натуральные с помощью четырёх действий арифметики и извлечения корней — так корень оказался в центре общей алгебры^[17].

При рациональных ${\displaystyle a}$ уравнение ${\displaystyle x^{2}=a}$ разрешимо в рациональных числах тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель числа ${\displaystyle a}$ (в виде несократимой дроби) — полные квадраты.

Цепная (непрерывная) дробь квадратного корня из рационального числа периодична (теорема Лагранжа), и обратно: всякая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью. Отсюда — хороший способ рациональных приближений; при этом теорема Лиувилля ограничивает точность: ${\displaystyle \textstyle \left|{\sqrt {r}}-p/q\right|>{\frac {1}{Cq^{2}}}}$ с константой ${\displaystyle C}$, зависящей от ${\displaystyle r}$^[18].

Разложения корней из первых натуральных чисел:

${\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;{\overline {2}}],\quad {\sqrt {3}}=[1;{\overline {1,2}}],\quad {\sqrt {5}}=[2;{\overline {4}}],\quad {\sqrt {6}}=[2;{\overline {2,4}}],}$

${\displaystyle {\sqrt {7}}=[2;{\overline {1,1,1,4}}],\quad {\sqrt {8}}=[2;{\overline {1,4}}],\quad {\sqrt {10}}=[3;{\overline {6}}];}$

корни из полных квадратов (${\displaystyle {\sqrt {4}},\ {\sqrt {9}}}$) — натуральные числа, их разложения конечны. Первые подходящие дроби для ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$: ${\displaystyle 1,\ {\tfrac {3}{2}},\ {\tfrac {7}{5}},\ {\tfrac {17}{12}},\ {\tfrac {41}{29}},\ {\tfrac {99}{70}}\dots }$ — ошибки составляют 0,014; 0,0024; 0,00042; 0,000072… (примерно ${\displaystyle 1/q^{2}}$; проверено численно).

Для любого положительного ${\displaystyle a}$ существуют ровно два вещественных корня, равных по модулю и противоположных по знаку^[19]. Неотрицательный из них называется арифметическим квадратным корнем и обозначается ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$. Основные свойства арифметического квадратного корня (с указанием областей допустимых значений переменных):

• ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=|a|}$ (верно для любого ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$);
• ${\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}}$ (верно при ${\displaystyle a\geqslant 0,b\geqslant 0}$);
• ${\displaystyle {\sqrt {\dfrac {a}{b}}}={\dfrac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}}$ (верно при ${\displaystyle a\geqslant 0,b>0}$);
• ${\displaystyle {\sqrt {a+b}}\leqslant {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}$ (неравенство субаддитивности, верно при ${\displaystyle a\geqslant 0,b\geqslant 0}$).

Квадратных корней из любого ненулевого комплексного числа ровно два, они отличаются знаком. Понятие арифметического корня здесь не вводится, а знак радикала либо не используется, либо обозначает множество всех корней — и тогда его нельзя свободно использовать в арифметических преобразованиях. Классическая ошибка:

${\displaystyle -1=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$ — неверно;

ошибка кроется в неправомерном применении свойства ${\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$, которое справедливо только для неотрицательных ${\displaystyle a,b}$, и в комплексной области теряет смысл^[20].

Удобна экспоненциальная форма: если ${\displaystyle a=|a|e^{i\phi }}$, то по формуле Муавра

${\displaystyle {\sqrt {a}}={\sqrt {|a|}}\cdot e^{i(\phi +2\pi k)/2},\qquad k=0,1}$ — два значения.

Существует и чисто алгебраическая формула: оба корня из ${\displaystyle a+bi}$ имеют вид ${\displaystyle \pm (c+di)}$, где

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}},\qquad d=\operatorname {sgn} (b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$

(знак при ${\displaystyle b=0,\ a<0}$ выбирается по соглашению)^[21]. Пример: ${\displaystyle {\sqrt {3+4i}}=\pm (2+i)}$, поскольку ${\displaystyle (2+i)^{2}=3+4i}$.

Арифметический квадратный корень — элементарная функция, частный случай степенной функции ${\displaystyle x^{\alpha }}$ при ${\displaystyle \alpha =1/2}$. Функция бесконечно дифференцируема (гладка класса ${\displaystyle C^{\infty }}$) на интервале ${\displaystyle (0,+\infty )}$; в нуле непрерывна справа (${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\sqrt {x}}=0}$), но не дифференцируема, поскольку производная обращается в бесконечность (график имеет вертикальную касательную):

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\quad (x>0),\qquad \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}=+\infty .}$^[22]

Связь с другими функциями (при ${\displaystyle x>0}$):

${\displaystyle {\sqrt {x}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln x}.}$

Неопределённый интеграл:

${\displaystyle \int {\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}}x^{3/2}+C.}$

Функция ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ строго возрастает и вогнута на всём луче ${\displaystyle [0,+\infty )}$. В нуле производная обращается в бесконечность: ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\sqrt {x}}{x}}=+\infty }$, поэтому график имеет в начале координат вертикальную касательную.

Как функция комплексного переменного корень двузначен; его риманова поверхность состоит из двух листов, склеенных в точках ветвления ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \infty }$^[23].

Сложное радикальное выражение ${\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {b}}}}}$ можно преобразовать в сумму (или разность) простых корней по формуле двойного радикала^[25]:

${\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {b}}}}={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}},}$

справедливой при ${\displaystyle a>0}$ и ${\displaystyle a^{2}>b\geqslant 0}$.

Бесконечный вложенный радикал вида

${\displaystyle {\sqrt {c+{\sqrt {c+{\sqrt {c+\dots }}}}}}}$

при ${\displaystyle c>0}$ сходится к положительному корню уравнения ${\displaystyle x={\sqrt {c+x}}}$, то есть к ${\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {1+4c}}}{2}}}$. В частности:

${\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots }}}}}}=2.}$

Классический пример бесконечного радикала — формула Виета (1593), первое в истории бесконечное произведение в математике:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$

Она получается при вычислении периметров правильных ${\displaystyle 2^{n}}$-угольников, вписанных в единичную окружность^[26].

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {x^{3}}{16}}-{\frac {5x^{4}}{128}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}4^{n}}}\,x^{n},\qquad |x|\leqslant 1}$

(при ${\displaystyle x=1}$ ряд сходится к ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, при ${\displaystyle x=-1}$ — к нулю; численно: при ${\displaystyle N=5}$ членах максимум ошибки на ${\displaystyle (-1,1)}$ составляет 0,24).

Многим алгоритмам нужно начальное приближение. Если ${\displaystyle S\geqslant 1}$ и ${\displaystyle D}$ — число цифр ${\displaystyle S}$ слева от запятой (при ${\displaystyle S<1}$ — число начальных нулей справа от запятой, взятое со знаком минус), то полагают:

${\displaystyle D=2n+1\Rightarrow {\sqrt {S}}\approx 2\cdot 10^{n};\qquad D=2n+2\Rightarrow {\sqrt {S}}\approx 6\cdot 10^{n}.}$

Числа 2 и 6 выбраны потому, что ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{10}}\approx 1{,}8\approx 2}$ и ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{1000}}\approx 5{,}6\approx 6}$; оценка верна с точностью до множителя около 2,5. В двоичной системе используют ${\displaystyle 2^{\lfloor D/2\rfloor }}$.

Метод был известен ещё в Древнем Вавилоне^[4] и допускает наглядное толкование: если ${\displaystyle x_{n}}$ — приближение к ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ «сверху», то ${\displaystyle a/x_{n}}$ — приближение «снизу», и их среднее арифметическое лучше обоих. Последовательные приближения:

${\displaystyle x_{0}=a,\qquad x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right),\qquad \lim _{n\to \infty }x_{n}={\sqrt {a}}}$ — метод Ньютона, применённый к уравнению ${\displaystyle x^{2}-a=0}$.

Сходимость квадратичная: ${\displaystyle \textstyle x_{n+1}-{\sqrt {a}}={\frac {(x_{n}-{\sqrt {a}})^{2}}{2x_{n}}}}$. Пример для ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$, ${\displaystyle x_{0}=2}$:

${\displaystyle x_{1}={\tfrac {9}{4}}=2{,}25;\quad x_{2}={\tfrac {161}{72}}=2{,}23611\dots ;\quad x_{3}={\tfrac {51841}{23184}}=2{,}2360679779\dots }$

— ошибки равны 0,236; 0,0139; 0,000043; 0,0000000004 (последнее значение верно с 9 знаками; проверено численно).

Способ позволяет получить цифры корня из любого вещественного числа одну за другой — аналогично делению столбиком. Число разбивают на группы по две цифры влево и вправо от запятой (например, ${\displaystyle 31234{,}567\to 0\,3\,12\,34,\ 56\,70}$); на каждом шаге подбирается максимальная цифра ${\displaystyle a\in \{0,\ldots ,9\}}$, для которой выполняется ${\displaystyle (20y+a)\cdot a\leqslant c}$, где ${\displaystyle c}$ — текущий остаток с приписанной группой, а ${\displaystyle y}$ — уже найденная часть корня. Пример: ${\displaystyle {\sqrt {69696}}=264}$, причём последний шаг точен: ${\displaystyle (520+4)\cdot 4=2096}$ (см. рисунок; ${\displaystyle 264^{2}=69696}$).

В языках программирования функция корня называется sqrt (англ. square root); в процессорах она реализована машинной командой (FPU, SSE-набор векторных инструкций). Для снижения себестоимости вычислений применяются итерации Ньютона по схеме «сначала обратный корень, потом умножение»: знаменитый быстрый инверсный квадратный корень из игр 1990-х сочетает трюк с «магической константой» и одну итерацию Ньютона^[27].