Делитель нуля

Если ${\displaystyle a}$ не является левым делителем нуля, то равенство ${\displaystyle ab=ac}$ можно сократить на ${\displaystyle a;}$ аналогично с правым делителем нуля. В частности, в области целостности сокращение на ненулевой множитель всегда возможно^[3].

Множество регулярных элементов коммутативного кольца замкнуто относительно умножения.

Обратимые элементы кольца не могут быть делителями нуля^[2]. Обратимые элементы кольца часто называют «делителями единицы», поэтому предыдущее утверждение можно сформулировать иначе: делитель единицы не может быть одновременно делителем нуля. Отсюда следует, что ни в каком теле или поле делителей нуля быть не может^[4].

В коммутативном конечном кольце с единицей каждый ненулевой элемент либо обратим, либо является делителем нуля. Следствие: нетривиальное коммутативное конечное кольцо без делителей нуля является полем (существование в кольце единицы может быть строго доказано).

Линейно упорядоченное кольцо со строгим порядком (то есть если произведение положительных элементов положительно) не содержит делителей нуля^[5], см. также ниже пример упорядоченного кольца с делителями нуля.

Нильпотентный элемент кольца всегда является (и левым, и правым) делителем нуля. Идемпотентный элемент кольца ${\displaystyle c}$, отличный от единицы, также является делителем нуля, поскольку ${\displaystyle c(1-c)=0.}$

В компьютерной алгебре делители нуля играют важную роль для обеспечения точности, скорости и корректности вычислений.

• Проверка корректности вычислений
  • Обнаружение скрытых ошибок. Деление на делитель нуля эквивалентно делению на ноль. Алгоритмы отслеживают их, чтобы предотвратить появление неопределенностей в промежуточных символьных вычислениях.
  • Исключение ложных тождеств. При работе с полиномами или матрицами наличие делителей нуля может привести к неверному упрощению выражений, если система ошибочно примет ненулевой элемент за ноль.

• Анализ свойств алгебраических структур
  • Идентификация типа кольца. Наличие или отсутствие делителей нуля позволяет алгоритмам автоматически определить тип структуры (например, является ли кольцо областью целостности).
  • Поиск сингулярностей. В полиномиальных кольцах и алгебраической геометрии делители нуля помогают находить особые точки, пересечения поверхностей и вырожденные случаи.

• Оптимизация алгоритмов
  • Модулярная арифметика. При использовании Китайской теоремы об остатках вычисления переводятся в кольца вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$. Если ${\displaystyle m}$ составное, в кольце есть делители нуля. Алгоритмы оптимизируют вычисления, избегая этих элементов или используя их для быстрого разложения модуля на множители.
  • Параллельные вычисления. В некоторых структурах (например, прямых суммах колец) делители нуля позволяют разделить одну сложную задачу на несколько независимых ортогональных ветвей.

• Другие задачи
  • Криптография. Анализ делителей нуля необходим для оценки стойкости криптосистем, основанных на недоменных кольцах (где делители нуля могут стать уязвимостью для атак).
  • Символьное интегрирование и дифференцирование. Помогают корректно обрабатывать разрывные функции и вырожденные дифференциальные операторы.

Кольцо целых чисел не содержит нетривиальных делителей нуля и является областью целостности.

В кольце вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ по модулю ${\displaystyle m,}$ если k не взаимно просто с m, то вычет k является делителем нуля. Например, в кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ элементы 2, 3, 4 — делители нуля:

${\displaystyle 2_{6}\cdot 3_{6}=0;\ 4_{6}\cdot 3_{6}=0}$

В кольце матриц порядка 2 или более также имеются делители нуля, например:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$

Поскольку определитель произведения равен произведению определителей сомножителей, произведение матриц будет нулевой матрицей только если определитель по крайней мере одного из сомножителей равен нулю. Несмотря на некоммутативность умножения матриц, понятия левого и правого делителей нуля в этом кольце совпадают; все делители нуля — это вырожденные матрицы с нулевым определителем.

Пример упорядоченного кольца с делителями нуля: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы)^[6][7].