Корень уравнения

Пусть дано уравнение с одной переменной:

${\displaystyle f(x)=g(x)}$

Число ${\displaystyle x_{0}}$ называется корнем (или решением) этого уравнения, если при подстановке ${\displaystyle x=x_{0}}$ получается верное числовое равенство:

${\displaystyle f(x_{0})=g(x_{0})}$

Иными словами, корень уравнения — это значение переменной, которое обращает уравнение в истинное равенство. В учебной литературе термины «корень уравнения» и «решение уравнения» для уравнений с одним неизвестным обычно используются как синонимы.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Множество всех корней уравнения называется множеством решений.

Количество корней уравнения может быть различным:

• Уравнение может иметь единственный корень. Например, уравнение ${\displaystyle 2x=14}$ имеет единственный корень ${\displaystyle x=7}$.
• Уравнение может иметь несколько корней (конечное множество). Например, квадратное уравнение ${\displaystyle x^{2}-5x+6=0}$ имеет два корня: ${\displaystyle x=2}$ и ${\displaystyle x=3}$.
• Уравнение может иметь бесконечно много корней. Например, уравнение ${\displaystyle \sin(\pi x)=0}$ имеет бесконечное число корней ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$.
• Уравнение может не иметь корней. Например, уравнение ${\displaystyle |x|=-5}$ не имеет корней, так как модуль числа не может быть отрицательным. Множество корней такого уравнения является пустым: ${\displaystyle \varnothing }$.

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Это означает, что каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот — каждый корень второго уравнения является корнем первого.

Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

При решении уравнений используются равносильные преобразования, которые не изменяют множество корней:

• Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с изменением знака на противоположный. Например: ${\displaystyle 5x+20=12\Rightarrow 5x=12-20}$.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. Например: ${\displaystyle 5x=20\Rightarrow x=4}$.

При выполнении неравносильных преобразований (например, возведения обеих частей уравнения в квадрат или умножения на выражение, содержащее переменную) могут возникать посторонние корни — значения, которые не являются корнями исходного уравнения.

Пример появления постороннего корня:

${\displaystyle {\frac {x^{2}+x-1}{x-1}}={\frac {4x-3}{x-1}}}$

После умножения обеих частей на ${\displaystyle (x-1)}$ получаем уравнение ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$, корни которого ${\displaystyle x=1}$ и ${\displaystyle x=2}$. Однако ${\displaystyle x=1}$ обращает знаменатель исходного уравнения в нуль и является посторонним корнем. Правильный ответ: ${\displaystyle x=2}$.

Также возможно потеря корня, например, при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную, которое может обращаться в нуль.

Формулы для нахождения корней

Тип уравнения	Уравнение	Корни
Линейное уравнение	${\displaystyle ax+b=0}$, ${\displaystyle a\neq 0}$	${\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}$
Квадратное уравнение	${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$	${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}}$, где ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$
Уравнение с модулем	${\displaystyle |x-a|=b}$, ${\displaystyle b>0}$	${\displaystyle x=a\pm b}$
Степенное уравнение	${\displaystyle x^{n}=a}$	${\displaystyle n}$ — чётное: ${\displaystyle x=\pm {\sqrt[{n}]{a}}}$ при ${\displaystyle a>0}$; ${\displaystyle n}$ — нечётное: ${\displaystyle x={\sqrt[{n}]{a}}}$

Для квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ в зависимости от значения дискриминанта ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$ возможны три случая:

• ${\displaystyle D>0}$ — уравнение имеет два различных действительных корня;
• ${\displaystyle D=0}$ — уравнение имеет один корень (два совпадающих корня): ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$;
• ${\displaystyle D<0}$ — уравнение не имеет действительных корней.

В более широком смысле корнем многочлена ${\displaystyle P(x)}$ называется такое число ${\displaystyle c}$, при котором значение многочлена равно нулю: ${\displaystyle P(c)=0}$. Корни многочлена являются корнями соответствующего алгебраического уравнения ${\displaystyle P(x)=0}$.

Согласно теореме Безу, если ${\displaystyle x=a}$ является корнем многочлена ${\displaystyle f(x)}$, то этот многочлен делится на двучлен ${\displaystyle (x-a)}$ без остатка:

${\displaystyle f(x)=(x-a)\cdot g(x)}$

Это позволяет понижать степень уравнения, последовательно выделяя линейные множители.

⚠️Подсказка для ОГЭ/ЕГЭ

Для успешной сдачи ЕГЭ по теме «Корень уравнения» необходимо усвоить, что это значение переменной (или набор значений для нескольких переменных), при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство, то есть левая и правая части уравнения становятся равными.

Ключевое для ЕГЭ — понимать, что решить уравнение означает найти все его корни (множество решений) или доказать, что их нет, при этом в зависимости от типа уравнения оно может иметь один корень, несколько корней, бесконечно много корней (тождество) или не иметь корней вовсе (например, ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ на множестве действительных чисел).

Важно различать равносильные преобразования (приводящие к уравнению с тем же множеством корней) и неравносильные (например, возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому требуется проверка; умножение на выражение с переменной может привести к потере корней).

Для ЕГЭ критически важно знать основные типы уравнений и методы их решения: линейные, квадратные (через дискриминант ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$), рациональные (с областью допустимых значений — ОДЗ), иррациональные (с проверкой корней), показательные, логарифмические, тригонометрические (с учётом периодичности и отбором корней на заданном промежутке).

В заданиях ЕГЭ вас могут попросить: найти корень уравнения (или сумму корней, или наибольший/наименьший корень), указать количество корней, отобрать корни, принадлежащие заданному отрезку, или найти область допустимых значений. Обязательно помните: при решении уравнений с чётными корнями нужно проверять корни, при решении логарифмических — следить за положительностью выражений под логарифмом, а при тригонометрических — учитывать период.

Систематизируйте через блок «определение → равносильные преобразования → типы уравнений (линейные, квадратные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические) → методы решения → проверка корней (ОДЗ, посторонние корни)»