Эксетерская точка

В 1986 году на семинаре по применению компьютеров в математике в Академии Филлипса в Эксетере (Phillips Exeter Academy) под руководством Кларка Кимберлинга была обнаружена точка пересечения прямых, соединяющих вершины тангенциального треугольника с вторыми точками пересечения медиан с описанной окружностью, и установлено, что эта точка лежит на прямой Эйлера^[3]. Название точки закрепило имя академии и города Эксетер в Нью-Гэмпшире.

Первая печатная постановка задачи о конкурентности трёх прямых и о принадлежности точки прямой Эйлера появилась как задача 6557 в журнале The American Mathematical Monthly в 1987 году; решение опубликовали К. Кимберлинг и О. П. Лоссерс в 1990 году^[4]. Трилинейные координаты и положение среди других центров Кимберлинг включил в обзор 1994 года и в монографию 1998 года, где точка получила номер ${\displaystyle X(22)}$ в формировавшейся Энциклопедии центров треугольника^[2][1].

В отличие от классических центров — центроида, инцентра, ортоцентра и центра описанной окружности, известных с античности, — эксетерская точка относится к центрам, найденным в эпоху машинных вычислений. Вместе с точкой Шиффлера ${\displaystyle X(21)}$ она стала одним из первых «новых» центров, для которых компьютерное обнаружение предшествовало полному аналитическому изучению.

Пусть дан треугольник ${\displaystyle \triangle ABC}$.

1. Медианы, проведённые из вершин ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$, вторично пересекают описанную окружность в точках ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle C'}$ соответственно. Треугольник ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ называют описанно-медиальным.
2. Касательные к описанной окружности в точках ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ образуют тангенциальный треугольник ${\displaystyle \triangle DEF}$, где ${\displaystyle D}$ — точка пересечения касательных в ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle E}$ — в ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle F}$ — в ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$.
3. Прямые ${\displaystyle DA'}$, ${\displaystyle EB'}$ и ${\displaystyle FC'}$ пересекаются в одной точке. Точка пересечения и есть эксетерская точка треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$^[3][5].

Иначе говоря, эксетерская точка — центр перспективы тангенциального треугольника и описанно-медиального треугольника.

Точки ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$, ${\displaystyle C'}$ лежат на прямых медиан, поэтому прямые ${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$, ${\displaystyle CC'}$ пересекаются в центроиде ${\displaystyle G}$. Таким образом, описанно-медиальный треугольник перспективен исходному треугольнику с центром перспективы ${\displaystyle G}$. Эксетерская точка возникает при замене исходного треугольника на тангенциальный в этой конструкции.

Стороны тангенциального треугольника — касательные к описанной окружности исходного треугольника в его вершинах. Описанная окружность ${\displaystyle \triangle ABC}$ является вписанной окружностью ${\displaystyle \triangle DEF}$, а центр ${\displaystyle O}$ треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ — инцентром тангенциального треугольника^[6].

Вершина ${\displaystyle D}$ есть полюс прямой ${\displaystyle BC}$ относительно описанной окружности; она лежит на серединном перпендикуляре к стороне ${\displaystyle BC}$. Аналогично устроены ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$. Для остроугольного треугольника тангенциальный треугольник содержит исходный; при тупом угле соответствующая вершина тангенциального треугольника уходит на другую сторону касательной.

Если ${\displaystyle \triangle ABC}$ остроугольный, эксетерская точка совпадает с точкой ${\displaystyle X(55)}$ тангенциального треугольника — внутренним центром подобия его вписанной и описанной окружностей^[1].

Трилинейные координаты эксетерской точки суть:

${\displaystyle a(b^{4}+c^{4}-a^{4})\,:\,b(c^{4}+a^{4}-b^{4})\,:\,c(a^{4}+b^{4}-c^{4}),}$

где ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — длины сторон, противолежащих вершинам ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$^[2][5].

Барицентрические координаты получаются умножением на длины сторон:

${\displaystyle a^{2}(b^{4}+c^{4}-a^{4})\,:\,b^{2}(c^{4}+a^{4}-b^{4})\,:\,c^{2}(a^{4}+b^{4}-c^{4}).}$

Функция Кимберлинга (первая трилинейная координата как функция сторон) имеет вид ${\displaystyle \alpha =a(b^{4}+c^{4}-a^{4})}$. Она однородна степени 5, симметрична по ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ и меняет знак при перестановке, сохраняющей ориентацию лишь вместе с циклической подстановкой сторон, что и требуется от центра треугольника.

Свойство	Значение
Номер в ETC	${\displaystyle X(22)}$
Трилинейные координаты	${\displaystyle a(b^{4}+c^{4}-a^{4}):b(c^{4}+a^{4}-b^{4}):c(a^{4}+b^{4}-c^{4})}$
Барицентрические координаты	${\displaystyle a^{2}(b^{4}+c^{4}-a^{4}):b^{2}(c^{4}+a^{4}-b^{4}):c^{2}(a^{4}+b^{4}-c^{4})}$
Лежит на	Прямая Эйлера {2, 3, 4, 5, 20, 21, 22, 23, …}
Изогональное сопряжение	${\displaystyle X(66)}$
Изотомическое сопряжение	${\displaystyle X(1436)}$

Эксетерская точка лежит на прямой Эйлера треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$, то есть на прямой, проходящей через центроид ${\displaystyle G}$, центр описанной окружности ${\displaystyle O}$, ортоцентр ${\displaystyle H}$, центр девяти точек ${\displaystyle N}$ и точку де Лонгшана ${\displaystyle L=X(20)}$^[3][2]. Это свойство было установлено вычислительно на семинаре 1986 года и затем доказано аналитически^[4]. Впоследствии Дж. А. Скотт (J. A. Scott) привёл доказательство этого факта^[7].

Более того, с использованием барицентрических (площадных) координат было показано, что эксетерская точка ${\displaystyle E}$ исходного треугольника коллинеарна центроиду ${\displaystyle G'}$ и точке Фейербаха ${\displaystyle F'}$ тангенциального треугольника^[7].

На прямой Эйлера эксетерская точка ${\displaystyle X(22)}$ расположена по ту же сторону от ${\displaystyle O}$, что и точка ${\displaystyle X(23)}$ (far-out point), напротив ортоцентра: типичный порядок точек на прямой — ${\displaystyle H,\;N,\;G,\;O,\;X(22),\;\ldots }$ (для остроугольного треугольника; при тупом угле ортоцентр и центр описанной окружности меняются местами относительно сторон, но коллинеарность сохраняется).

Эксетерская точка связана с другими центрами следующими соотношениями:

• является изогонально сопряжённой точкой к центру ${\displaystyle X(66)}$^[1];
• является изотомически сопряжённой точкой к центру ${\displaystyle X(1436)}$;
• является инверсией точки ${\displaystyle X(858)}$ относительно описанной окружности;
• является антидополнением точки ${\displaystyle X(427)}$;
• является отражением точки ${\displaystyle X(378)}$ относительно центра описанной окружности;
• является ${\displaystyle X(76)}$-чева-сопряжением точки Лемуана ${\displaystyle X(6)}$ и чева-точкой пары ${\displaystyle X(3)}$, ${\displaystyle X(159)}$^[1].

Построение эксетерской точки выполняется в несколько этапов и является полностью конструируемым^[8]:

1. Построить описанную окружность треугольника ${\displaystyle ABC}$.
2. Построить медианы и найти точки ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$, ${\displaystyle C'}$ их вторичного пересечения с описанной окружностью.
3. Построить касательные к описанной окружности в точках ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$.
4. Найти точки пересечения этих касательных ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$ (вершины тангенциального треугольника).
5. Провести прямые ${\displaystyle DA'}$, ${\displaystyle EB'}$, ${\displaystyle FC'}$.
6. Точка их пересечения — искомая эксетерская точка.

Конструкцию эксетерской точки можно распространить с центроида на произвольную точку плоскости. Пусть ${\displaystyle P}$ — точка в плоскости ${\displaystyle \triangle ABC}$. Прямые ${\displaystyle AP}$, ${\displaystyle BP}$, ${\displaystyle CP}$ вторично пересекают описанную окружность в точках ${\displaystyle A_{P}}$, ${\displaystyle B_{P}}$, ${\displaystyle C_{P}}$. Прямые, соединяющие эти точки с соответствующими вершинами тангенциального треугольника, пересекаются в точке ${\displaystyle P_{e}}$, называемой образом ${\displaystyle P}$ при преобразовании Эксетера относительно ${\displaystyle \triangle ABC}$^[9].

При ${\displaystyle P=G}$ получается классическая эксетерская точка. Точка, её образ, точка Лемуана и три внешние точки Лемуана лежат на одной конике. Преобразование, вообще говоря, четырёхзначно в обратную сторону: у типичной точки четыре прообраза. Инвариантные прямые и неподвижные точки преобразования описаны в работе Чибы и Немета^[9].