Шестиугольник Лемуана

Изучение данной конфигурации стало одним из ярких направлений в период расцвета так называемой новой геометрии треугольника во второй половине XIX века. Хотя отдельные свойства симедиан были известны и ранее (например, работам Э. Лемуана предшествовали упоминания у А. Л’Юилье и Э. Гребe), именно Эмиль Лемуан (1850—1926) придал этой теме системный характер. Он представил точку пересечения симедиан, носящую теперь его имя (точка Лемуана), в докладе на Лионском конгрессе Французской ассоциации содействия развитию наук в 1873 году (опубликовано в 1874 году)^[4][5]. В этой же работе были впервые описаны связанные с этой точкой замечательные окружности.

Фундаментальный и наиболее полный классический анализ «сопутствующих окружностей» симедиан был проведён шотландским математиком Джоном С. Маккеем в 1895 году^[6]. Маккей строго доказал свойства первой и второй окружностей Лемуана (также известных как косинусная и синусная окружности) и подробно описал образование шестиугольников Лемуана, вершины которых лежат на сторонах исходного треугольника.

Параллельно и независимо эти конфигурации исследовались в контексте более общей теории. В 1883 году Роберт Таккер ввёл понятие окружностей Таккера, образующихся при пересечении сторон треугольника с антипараллельными прямыми^[7]. Было установлено, что первая и вторая окружности Лемуана являются частными, но наиболее симметричными случаями окружностей Таккера, когда секущие антипараллельные прямые проходят через точку Лемуана.

Систематическое изложение всей этой теории для англоязычной аудитории было дано Роджером А. Джонсоном в его фундаментальной монографии «Современная геометрия» (1929), которая закрепила эти понятия в классическом курсе планиметрии^[8].

Пусть в треугольнике ${\displaystyle ABC}$ со сторонами ${\displaystyle a,b,c}$ точка ${\displaystyle K}$ — точка Лемуана (точка пересечения симедиан, барицентрические координаты ${\displaystyle a^{2}:b^{2}:c^{2}}$). Проведём через ${\displaystyle K}$ три прямые, параллельные сторонам треугольника. Каждая из них пересекает две стороны, и всего получается шесть точек пересечения — по две на каждой стороне треугольника^[2].

Определение 1 (простой шестиугольник). Расположим шесть точек в том порядке, в котором они следуют на описанной окружности, и соединим последовательно. Полученный простой шестиугольник имеет три ребра на сторонах треугольника и три равных «соединительных» ребра^[3].

Определение 2 (самопересекающийся шестиугольник). Тот же набор вершин соединяют иначе: тремя отрезками параллелей (каждый проходит через ${\displaystyle K}$) и теми же тремя соединительными хордами; такой обход самопересекается в точке ${\displaystyle K}$ и именно он изображается на классических фигурах^[3][9].

Пусть ${\displaystyle \Sigma =a^{2}+b^{2}+c^{2}}$. Тогда^[2]:

• отрезки, отсекаемые на сторонах треугольника (рёбра простого шестиугольника, лежащие на сторонах), равны соответственно

  ${\displaystyle {\frac {a^{3}}{\Sigma }},\quad {\frac {b^{3}}{\Sigma }},\quad {\frac {c^{3}}{\Sigma }}}$ — то есть пропорциональны кубам сторон;

• отрезки параллелей, заключённые внутри треугольника, равны

  ${\displaystyle {\frac {a(b^{2}+c^{2})}{\Sigma }},\quad {\frac {b(c^{2}+a^{2})}{\Sigma }},\quad {\frac {c(a^{2}+b^{2})}{\Sigma }};}$

• три соединительные хорды, общие для обоих шестиугольников, равны между собой и равны ${\displaystyle {\dfrac {abc}{\Sigma }}}$.

Для простого шестиугольника, сложенного из трёх отрезков сторон и трёх соединительных хорд, периметр и площадь равны^[3]:

${\displaystyle p={\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},}$

${\displaystyle S={\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\,\Delta ,}$

где ${\displaystyle \Delta }$ — площадь треугольника.

Для самопересекающегося шестиугольника, сложенного из трёх параллелей и трёх соединительных хорд, периметр равен^[3]

${\displaystyle p={\frac {(a+b+c)(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},}$

а площадь, вычисляемая по формуле Гасса для этого порядка обхода (алгебраическая площадь самопересекающегося многоугольника), равна

${\displaystyle S={\frac {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\,\Delta .}$

Обе пары формул получаются непосредственным сложением длин отрезков из предыдущего раздела; численно они подтверждаются для любого треугольника.

В общем положении пять точек определяют коническое сечение, поэтому произвольные шесть точек не обязаны лежать даже на конике, тем более на окружности. Тем не менее шесть точек лемуановой конфигурации при любом порядке соединения образуют вписанный шестиугольник: описанная около него окружность и есть первая окружность Лемуана; её центр — середина отрезка ${\displaystyle OK}$ (центра описанной окружности и точки Лемуана), то есть середина брокардова диаметра (отрезка между центром описанной окружности и точкой Лемуана)^[9][10]. Первая окружность Лемуана является частным случаем окружностей Таккера, а шестиугольник Лемуана — соответствующим «таккеровым шестиугольником»^[10][11].

Второй шестиугольник Лемуана строится аналогично первому, но вместо параллелей берутся три антипараллели сторонам, проведённые через точку Лемуана^[12][13][14]. Шесть точек пересечения лежат на второй окружности Лемуана, центр которой совпадает с самой точкой ${\displaystyle K}$; поскольку каждая антипараллель проходит через центр, все три антипараллельные хорды являются диаметрами и равны между собой^[10][11].

Связь шестиугольников Лемуана с теорией окружностей Таккера и брокаровой конфигурацией раскрывается через три взаимосвязанных аспекта: изогональное сопряжение, связывающее параллели с антипараллелями, а центроид с точкой Лемуана; таккерово семейство окружностей, частными случаями которого являются обе окружности Лемуана; и брокарова конфигурация, управляющая этим семейством через брокаров угол^[15][16][17].

Первая окружность Лемуана как окружность Таккера

Шесть точек пересечения сторон треугольника с тремя параллелями через ${\displaystyle K}$ лежат на первой окружности Лемуана. Её центр — середина отрезка ${\displaystyle OK}$, то есть брокарова диаметра, — совпадает с центром брокаровой окружности. В параметризации таккерова семейства (см. ниже) первой окружности Лемуана отвечает значение ${\displaystyle \lambda =1/2}$ и параметрический угол ${\displaystyle \varphi =\omega }$, равный брокарову углу^[15]. Отрезки, отсекаемые этой окружностью на сторонах треугольника, пропорциональны кубам сторон: ${\displaystyle a^{3}/\Sigma ,b^{3}/\Sigma ,c^{3}/\Sigma }$, где ${\displaystyle \Sigma =a^{2}+b^{2}+c^{2}}$.

Семейство окружностей Таккера

Окружности Таккера строятся следующим обобщающим образом^[15][16][19]. Проведём три равные антипараллели к сторонам треугольника; их середины ${\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3}}$ лежат на соответствующих симедианах и делят их в одинаковом отношении: ${\displaystyle \lambda =KC_{1}/KA_{1}=KC_{2}/KA_{2}=KC_{3}/KA_{3}}$. Если точка ${\displaystyle T}$ делит отрезок ${\displaystyle KO}$ в том же отношении (${\displaystyle KT/KO=\lambda }$), то, поскольку антипараллели перпендикулярны симедианам, все три антипараллели оказываются равными хордами окружности с центром ${\displaystyle T}$, проходящей через шесть их концов. Эта окружность называется окружностью Таккера; её радиус равен^[15]:

${\displaystyle R_{T}=R{\sqrt {\lambda ^{2}+(1-\lambda )^{2}\operatorname {tg} ^{2}\omega }},}$

где ${\displaystyle R}$ — радиус описанной окружности, а ${\displaystyle \omega }$ — брокаров угол. Центры всех окружностей Таккера лежат на брокаровом диаметре, и это семейство образует коаксиальную систему (пучок)^[11]. Шесть точек на сторонах образуют при этом шестиугольник Таккера; если три его стороны, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, шестиугольник вырождается в лемуанов.

Частными случаями этого семейства являются описанная окружность (${\displaystyle \lambda =1}$), окружность косинусов (она же вторая окружность Лемуана, ${\displaystyle \lambda =0}$, центр ${\displaystyle K}$), первая окружность Лемуана (${\displaystyle \lambda =1/2}$, ${\displaystyle \varphi =\omega }$), а также окружность Тейлора и брокарова окружность^[15]. Таким образом, оба шестиугольника Лемуана — это в точности те конфигурации Таккера, в которых три антипараллели (или параллели) проходят через одну точку ${\displaystyle K}$.

• Теория геометрии треугольника. Шестиугольники Лемуана служат классическим примером в теории окружностей Таккера и брокаровой конфигурации, иллюстрируя связь симедиан, параллелей и антипараллелей^[11][21].
• Олимпиадная математика. Свойства точки Лемуана и связанных шестиугольников — традиционный материал для олимпиад^[2][22]; сама точка Лемуана известна как точка, минимизирующая сумму квадратов расстояний до сторон треугольника, что делает её популярным объектом оптимизационных задач.
• Компьютерная и экспериментальная геометрия. Конфигурация используется как демонстрационный пример в системах динамической геометрии: вписанность шести вершин в окружность при произвольном треугольнике — наглядная «теорема-эксперимент»^[3].