Параллельные прямые

В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются^[1]. В другом варианте определения совпадающие прямые также считаются параллельными^[2][3].

Преимущество последнего определения состоит в том, что параллельность становится отношением эквивалентности^[4].

Параллельность прямых ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ принято обозначать следующим образом: ${\displaystyle m\parallel n.}$

• Через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Последняя часть этого утверждения — знаменитый пятый постулат Евклида. Отказ от пятого постулата ведёт к геометрии Лобачевского (см. ниже).
• Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую (такая прямая называется секущей). При этом образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
  • соответственные углы равны (рис.1);
  • накрест лежащие углы равны (рис.2);
  • внутренние односторонние углы в сумме составляют 180° (рис.3).

Рис.1: Соответственные углы равны, ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}}$.	Рис.2: Внутренние накрест лежащие углы равны, ${\displaystyle \alpha =\gamma _{1}}$.	Рис.3: Односторонние углы являются дополнительными, ${\displaystyle \alpha +\delta _{1}=180^{\circ }}$.

• Если считать совпадающие прямые параллельными, то параллельность будет бинарным отношением эквивалентности, которое разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
• Множество точек плоскости, расположенных на некотором фиксированном расстоянии от данной прямой, по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной.

Построение двух параллельных прямых на плоскости с помощью циркуля и линейки можно разделить на несколько этапов:

1. Построение прямой ${\displaystyle a}$, относительно которой нужно построить параллельную прямую.
2. Построение прямой ${\displaystyle b}$, перпендикулярной прямой ${\displaystyle a}$ (см. построение перпендикуляра).
3. Построение прямой ${\displaystyle c}$, перпендикулярной прямой b, и не совпадающей с прямой ${\displaystyle a}$ (аналогично построению прямой ${\displaystyle b}$).

В планиметрии две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен третий вариант — прямые могут не пересекаться, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися прямыми.

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку ${\displaystyle C}$ вне данной прямой ${\displaystyle AB}$ проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих ${\displaystyle AB}$. Прямая ${\displaystyle CE}$ называется равнобежной прямой ${\displaystyle AB}$ в направлении от ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle B}$, если:

• точки ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle E}$ лежат по одну сторону от прямой ${\displaystyle AC}$;
• прямая ${\displaystyle CE}$ не пересекает прямую ${\displaystyle AB}$, но всякий луч, проходящий внутри угла ${\displaystyle ACE}$, пересекает луч ${\displaystyle AB}$.

Аналогично определяется прямая, равнобежная ${\displaystyle AB}$ в направлении от ${\displaystyle B}$ к ${\displaystyle A}$.

Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными. Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися^[5].

• Расходящиеся параллельные прямые имеют единственный общий перпендикуляр.
  • Этот перпендикуляр соединяет ближайшую пару точек на этих прямых.

• Несмотря на то, что асимптотически параллельные прямые не пересекаются, на любой паре асимптотически параллельных прямых можно выбрать произвольно близкие точки.