Резонанс

Если потерь энергии нет, резонансу отвечают, формально, бесконечная амплитуда и равенство частоты воздействия ${\displaystyle \omega _{A}}$ собственной частоте ${\displaystyle \omega _{0}}$ системы. При наличии потерь резонанс менее выражен и возникает при частоте ниже ${\displaystyle \omega _{0}}$ (отстройка от ${\displaystyle \omega _{0}}$ увеличивается с ростом потерь).

Под действием резонанса колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие внешней силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемой добротностью. При помощи резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания.

Значения добротности для типичных резонансных систем различаются на много порядков:

Явление резонанса впервые было описано Галилео Галилеем в 1602 г. в работах, посвящённых исследованию маятников и музыкальных струн^[2][3]. Существенный вклад в развитие теории резонанса и нелинейных колебаний внесли отечественные учёные: Л. И. Мандельштам и Н. Д. Папалекси, создавшие в 1930-е годы школу теории нелинейных колебаний, а также А. А. Андронов, разработавший математический аппарат для описания резонансных и автоколебательных явлений^[4].

Рис. 1. Резонанс, возникающий в системе при воздействии на неё внешних волн разной частоты, коэффициенты затухания которых в данной системе различны

Наиболее известная большинству людей механическая резонансная система — это обычные качели. Если подталкивать качели в определённые моменты времени в соответствии с их резонансной частотой, размах движения будет увеличиваться, в противном случае движения будут затухать.

Резонансную частоту такого маятника с достаточной точностью в диапазоне малых смещений от равновесного состояния можно найти по формуле:

${\displaystyle f={1 \over 2\pi }{\sqrt {g \over L}}}$,

где g — это ускорение свободного падения (9,8 м/с² для поверхности Земли), а L — длина от точки подвешивания маятника до центра его масс (более точная формула довольно сложна и включает эллиптический интеграл). Важно, что резонансная частота не зависит от массы маятника. Также важно, что раскачивать маятник нельзя на кратных частотах (гармониках), зато это можно делать на частотах, равных долям от основной (субгармониках). Резонансные явления могут приводить как к разрушению, так и к увеличению устойчивости механических систем.

Рис. 2. Раскачивание человека на качелях — типичный пример механического резонанса. Нагруженное колебание, маятник, имеет собственную частоту колебаний и свою резонансную частоту

В основе работы механических резонаторов лежит преобразование потенциальной энергии в кинетическую и наоборот. В случае простого маятника вся его энергия содержится в потенциальной форме когда он неподвижен и находится в верхних точках траектории, а при прохождении нижней точки на максимальной скорости она преобразуется в кинетическую. Потенциальная энергия пропорциональна массе маятника и высоте подъёма относительно нижней точки, кинетическая — массе и квадрату скорости в точке измерения.

Рис. 3. Чтобы избежать механического резонанса в колёсной паре устанавливаются две параллельные пружины с разной жёсткостью. В подвеске вагонной тележки использовано два комплекта пружин

Другие механические системы могут использовать запас потенциальной энергии в различных формах. Например, пружина запасает энергию сжатия, которая, фактически, является энергией связи её атомов.

Струна

Струны таких инструментов, как лютня, гитара, скрипка или пианино имеют основную резонансную частоту, напрямую зависящую от длины, массы и силы натяжения струны^[5]. Длина волны первого резонанса струны равна её удвоенной длине. При этом, её частота зависит от скорости ${\displaystyle v}$, с которой волна распространяется по струне:

${\displaystyle f={v \over 2L},}$

где ${\displaystyle L}$ — длина струны (в случае, если она закреплена с обоих концов). Скорость распространения волны по струне зависит от её натяжения ${\displaystyle T}$ и массы на единицу длины ${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \rho }}.}$

Таким образом, частота главного резонанса может зависеть от свойств струны и выражается следующим отношением:

${\displaystyle f={{\sqrt {T \over \rho }} \over 2L}={{\sqrt {T \over m/L}} \over 2L}={\sqrt {T \over 4mL}}}$,

где ${\displaystyle T}$ — сила натяжения, ${\displaystyle \rho }$ — масса единицы длины струны, а ${\displaystyle m}$ — полная масса струны.

Увеличение натяжения струны и уменьшение её массы (толщины) и длины увеличивает её резонансную частоту. Помимо основного резонанса, струны также имеют резонансы на высших гармониках основной частоты f, например, 2f, 3f, 4f, и т. д. Если струне придать колебание коротким воздействием (щипком пальцев или ударом молоточка), струна начнёт колебания на всех частотах, присутствующих в воздействующем импульсе (теоретически, короткий импульс содержит все частоты). Однако частоты, не совпадающие с резонансными, быстро затухнут, и мы услышим только гармонические колебания, которые и воспринимаются как музыкальные ноты (см. чистый тон).

Струны контрабаса также имеют основную резонансную частоту

В электрических цепях резонансом называется режим пассивной цепи, содержащей катушки индуктивности и конденсаторы, при котором её входное реактивное сопротивление или её входная реактивная проводимость равны нулю^[6]. При резонансе ток на входе цепи, если он отличен от нуля, совпадает по фазе с напряжением.

В электрических цепях резонанс возникает на определённой частоте, когда индуктивная и ёмкостная составляющие реакции системы уравновешены, что позволяет энергии циркулировать между магнитным полем индуктивного элемента и электрическим полем конденсатора.

Механизм резонанса заключается в том, что магнитное поле индуктивности генерирует электрический ток, заряжающий конденсатор, а разрядка конденсатора создаёт магнитное поле в индуктивности — процесс, который повторяется многократно, по аналогии с механическим маятником.

Колебательный контур

Электрическое устройство, состоящее из ёмкости и индуктивности, называется колебательным контуром. Элементы колебательного контура могут быть включены как последовательно, так и параллельно. Резонансные процессы в колебательных контурах используются в элементах настройки и электрических фильтрах. Частота, на которой происходит резонанс, определяется величинами характеристик (номиналами) используемых элементов^[6]. В то же время, резонанс может быть и вреден, если он возникает вследствие повреждений, некачественного проектирования или производства . Такой резонанс может вызывать искажения сигнала, и даже повреждение компонентов.

Считая, что в момент резонанса индуктивная и ёмкостная составляющие импеданса равны, резонансную частоту можно найти из выражения

${\displaystyle \omega L={\frac {1}{\omega C}}\Rightarrow \omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$,

где ${\displaystyle \omega =2\pi f}$; f — резонансная частота в герцах; L — индуктивность в генри; C — ёмкость в фарадах. Важно, что в реальных системах понятие резонансной частоты неразрывно связано с полосой пропускания, то есть диапазоном частот, в котором реакция системы мало отличается от реакции на резонансной частоте. Ширина полосы пропускания определяется добротностью системы.

Пример параллельного колебательного контура

При последовательном соединении индуктивности и ёмкости в цепи возникает резонанс напряжений. В момент резонанса импеданс последовательно соединённых индуктивности и ёмкости минимален и равен активному сопротивлению цепи, а ток в цепи достигает максимального значения. При этом напряжения на реактивных элементах (индуктивности и ёмкости) могут во много раз превышать напряжение источника; отношение этих напряжений к напряжению источника равно добротности контура^[6]. В электронных устройствах также применяются различные электромеханические резонансные системы.

В СВЧ-электронике широко используются объёмные резонаторы, чаще всего цилиндрической или тороидальной геометрии с размерами порядка длины волны, в которых возможны добротные колебания электромагнитного поля на отдельных частотах, определяемых граничными условиями. Добротность обычных металлических объёмных резонаторов достигает 10⁴–10⁵, тогда как наивысшей добротностью (до 10¹⁰–10¹¹) обладают сверхпроводящие резонаторы, стенки которых изготовлены из сверхпроводника, и диэлектрические резонаторы с модами шепчущей галереи^[7]. Характерным примером применения объёмного резонатора является клистрон, в котором тороидальный резонатор служит для модуляции электронного потока по скорости и последующего съёма СВЧ-мощности; именно высокая добротность резонаторов клистрона обеспечивает эффективное усиление и генерацию сигналов сантиметрового и миллиметрового диапазонов.

Ускоряющий СВЧ-резонатор в линейном ускорителе Австралийского синхротрона.

В оптическом диапазоне самым распространённым типом резонатора является резонатор Фабри-Перо, образованный парой зеркал, между которыми в результате резонанса устанавливается стоячая световая волна. Именно резонатор Фабри-Перо составляет основу подавляющего большинства лазеров: между двумя зеркалами (одно из которых частично прозрачное) помещается активная среда, а генерация происходит на тех продольных модах резонатора, для которых выполняется условие фазового согласования и превышен порог усиления^[8]. Важным проявлением резонансных свойств атомных систем в оптике служит лэмбовский сдвиг — небольшое расщепление уровней атома водорода, обнаруженное У. Лэмбом в 1947 году и объяснённое в рамках квантовой электродинамики как результат взаимодействия электрона с вакуумными флуктуациями электромагнитного поля. Применяются также кольцевые резонаторы с бегущей волной и оптические микрорезонаторы с модами шепчущей галереи.

Виды оптических резонаторов типа Фабри-Перо:1. плоско-параллельный; 2. концентрический (сферический);3. полусферический; 4. конфокальный 5. выпукло-вогнутый.

Резонанс — один из важнейших физических процессов, используемых при проектировании звуковых устройств, большинство из которых содержат резонаторы, например, струны и корпус скрипки, трубка у флейты, корпус у барабанов. Классическим примером акустического резонатора служит резонатор Гельмгольца — сосуд с узким горлом, в котором воздух в горле играет роль колеблющейся массы, а воздух в объёме сосуда — роль упругости; собственная частота такого резонатора определяется объёмом сосуда, площадью сечения и длиной горла^[9].

Для акустических систем и громкоговорителей резонанс отдельных элементов (корпуса, диффузора) является нежелательным явлением, так как ухудшает равномерность амплитудно-частотной характеристики устройства и верность звуковоспроизведения. Исключением являются акустические системы с фазоинвертором, представляющие собой практическое применение резонатора Гельмгольца: тоннель фазоинвертора вместе с внутренним объёмом корпуса образует резонансную систему, настроенную на нижнюю область воспроизводимого диапазона, что позволяет существенно расширить воспроизведение низких частот при сохранении компактных размеров корпуса.

Медный сферический Резонатор Гельмгольца, созданный на основе первой модели 1890—1900 годов