Мгновенная ось вращения

Сложное движение твёрдого тела можно представить как суперпозицию поступательного движения и вращения вокруг единственной неподвижной в данный момент времени точки, в которую удобно поместить начало координат системы отсчёта. Эта точка может двигаться в пространстве с течением времени, но в пределе ${\displaystyle t\rightarrow 0}$ можно показать, что твёрдое тело вращается вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через единственную неподвижную точку. В следующий момент времени ${\displaystyle t+dt}$ вращение твёрдого тела будет происходить уже относительно новой мгновенной оси вращения, проходящей через новую неподвижную точку^[2].

Примером мгновенной оси вращения является ось, проходящая через точку соприкосновения колеса, катящегося по поверхности с данной скоростью ${\displaystyle v}$. Движение такого колеса показано на рисунке. Красной точкой обозначена мгновенная ось вращения, расположенная перпендикулярно плоскости рисунка. Движение колеса осуществляется без пробуксовки. В этом случае определить направление и модуль вектора скорости любой точки колеса можно по формуле:

${\displaystyle v=\omega r,}$ (1)

где ${\displaystyle \omega }$ — угловая скорость вращательного движения, ${\displaystyle r}$ — расстояние от некоторой точки колеса до мгновенной оси вращения. В случае проскальзывания колеса относительно поверхности, по которой оно катится, мгновенная ось вращения может находиться как над, так и под поверхностью качения.

Согласно теореме Эйлера — Даламбера, всякое перемещение твёрдого тела, имеющего одну неподвижную точку, можно заменить одним поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку^[3].

В этом случае для твёрдого тела мгновенной угловой скоростью вращения называют условие:

${\displaystyle {\frac {\vec {\Delta \alpha }}{\Delta t}}{\Biggl |}_{\Delta t\rightarrow 0}.}$ (2)

Вектор мгновенной угловой скорости твёрдого тела при ${\displaystyle \Delta t\rightarrow 0}$ определяется как:

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{\text{мгн}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\vec {\Delta \alpha }}{\Delta t}}.}$ (3)