Принцип наименьшего принуждения

Пусть точка механической системы с массой ${\displaystyle m_{i}}$ в момент времени ${\displaystyle t_{0}}$ находится в положении ${\displaystyle M_{i}}$. При свободном движении точка за очень малый промежуток ${\displaystyle \tau }$ пройдёт расстояние  ${\displaystyle {\overline {M_{i}A_{i}}}\,=\,\mathbf {v} _{i}\,\tau }$  (рис.1), где  ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ — скорость точки в момент времени ${\displaystyle t_{0}}$. Если же на точку будет действовать активная сила ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$, точка под воздействием этой силы совершит перемещение ${\displaystyle {\overline {M_{i}B_{i}}}}$. Разложив в ряд по времени вектор перемещения, будем иметь:

${\displaystyle \mathbf {r} (t_{0}+\tau )\;=\;\mathbf {r} (t_{0})+{\overset {\cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\,\tau +{\frac {1}{2}}\;{\overset {\cdot \cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\,\tau ^{2}+...}$

Но

${\displaystyle {\overset {\cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\;=\;\mathbf {v} ,\;\;{\overset {\cdot \cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\;=\;{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}}$

Поэтому это перемещение с точностью до малых третьего порядка будет равно:

${\displaystyle {\overline {M_{i}B_{i}}}\;=\;\mathbf {v} _{i}\,\tau +{\frac {1}{2}}\;{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}\,\tau ^{2}}$

Если же на точку наложить связи, то её перемещение по действием силы ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$ и при наличии связей будет с точностью до малых третьего порядка равно:

${\displaystyle {\overline {M_{i}C_{i}}}\;=\;\mathbf {v} _{i}\,\tau +{\frac {1}{2}}\;\mathbf {w} _{i}\,\tau ^{2}}$ ,

где ${\displaystyle \mathbf {w} _{i}}$ — ускорение точки в её действительном движении. Тогда отклонение точки от свободного движения будет представлено вектором ${\displaystyle {\overline {B_{i}C_{i}}}}$. Очевидно, что

${\displaystyle {\overline {B_{i}C_{i}}}\;=\;{\overline {M_{i}C_{i}}}-{\overline {M_{i}B_{i}}}\;=\;{\frac {1}{2}}\;\tau ^{2}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}\right)}$

с точностью до малых третьего порядка. За меру отклонения точки от свободного движения Гаусс принял величину, пропорциональную квадрату отклонения ${\displaystyle {\overline {B_{i}C_{i}}}}$, которую и назвал принуждением. Принуждение для точки с массой ${\displaystyle m_{i}}$ имеет следующее выражение:

${\displaystyle Z_{i}\;=\;{\frac {1}{2}}\;m_{i}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}\right)^{2}}$

Просуммировав принуждения для всех точек системы, получим:

${\displaystyle Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{\overset {N}{\underset {i=1}{\sum }}}}\,m_{i}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}\right)^{2}}$

Из приведённого в начале статьи определения следует, что для ускорений в действительном движении

${\displaystyle \delta \,Z\;=\;0}$

причем вариация берётся только по ускорениям, а координаты и скорости полагаются неизменными. Вариацию такого рода называют гауссовой вариацией.

Одним из первых высоко оценил значение принципа наименьшего принуждения Гаусса выдающийся русский математик и механик М. В. Остроградский, который придавал особенно большое значение подходу Гаусса к пониманию связей. В своём мемуаре 1836 г. «О мгновенных перемещениях системы, подчинённой переменным условиям» Остроградский указывал такое следствие из принципа Гаусса: давление на связи со стороны точек системы в истинном движении системы должно быть минимальным по сравнению с другими кинематически осуществимыми движениями^[6]. В 1878 г. И. И. Рахманинов придал^[7] принципу Гаусса энергетическую трактовку, переформулировав его как принцип наименьшей потерянной работы^[8].

Французский математик Ж. Бертран охарактеризовал принцип Гаусса как «красивую теорему, содержащую одновременно общие законы равновесия и движения и являющуюся, по-видимому, наиболее общим и изящным выражением, какое только им было придано»^[9].

Принцип наименьшего принуждения обладает весьма большой общностью, так как применим к самым различным механическим системам: к консервативным и неконсервативным, к голономным и неголономным. Поэтому, в частности, он часто используется^[10] в качестве исходного пункта при выводе уравнений движения неголономных систем. Вместе с тем принцип Гаусса используют и непосредственно — в задачах, связанных с компьютерным моделированием динамики систем твёрдых тел (в частности, манипуляционных роботов); при этом выполняется численная минимизация принуждения методами математического программирования^[11].

Принцип Гаусса обобщён^[12] на случай освобождения системы от части связей^[13][14], а также на случай систем, стеснённых неидеальными связями, и на случай сплошных сред^[15].