Величина (математика)

Евклид («Начала» III век до н. э.) сформулировал свойства величин, называемых теперь положительными скалярными величинами. Это первоначальное понятие величины является непосредственным обобщением более конкретных понятий: длины, площади, объёма, массы и т. д.. Свои соображения Евклид иллюстрировал операциями с отрезками, но сам при этом рассматривал величины как абстрактные понятия. Греческие математики рассматривали величины, которые можно было измерить линейкой и циркулем. Каждый конкретный род величин связан с определённым способом сравнения физических тел или других объектов. Открытие существования несоизмеримых отрезков приписывается Пифагору (VI век до н. э.). Древнегреческие математики развили теорию измерения величин, основанную на первых девяти свойствах величины (см. ниже). Для полного определения системы положительных скалярных величин была введена аксиома непрерывности. Арабские математики рассматривали более сложные величины, в частности, решали кубические уравнения геометрическими методами.

Декарт ввёл понятие переменной величины. В XVII веке вещественные числа тесно ассоциировались с понятием величины, а математика считалась наукой о величинах.

С развитием математики смысл понятия величины подвергался обобщениям. Понятие было расширено на «нескалярные» величины, для которых определено сложение, но не определено отношение порядка. К ним относятся векторы и тензоры. Следующим расширением стал отказ от аксиомы Архимеда или использование её с некоторыми оговорками (например, натуральность числа ${\displaystyle n}$ для положительных скалярных величин). Такие величины используются в отвлечённых математических исследованиях^[1].

В пределах системы всех однородных величин (то есть в пределах системы всех длин, или всех площадей, или всех объёмов) устанавливается отношение неравенства: две величины ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ одного и того же рода или совпадают (${\displaystyle a=b}$), или первая меньше второй (${\displaystyle a<b}$), или вторая меньше первой (${\displaystyle b<a}$).

В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных величин операция ${\displaystyle a<b}$ обладает следующими свойствами:

1. каковы бы ни были ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, имеет место одно и только одно из трёх отношений: или ${\displaystyle a=b}$, или ${\displaystyle a<b}$, или ${\displaystyle b<a}$;
2. если ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle b<c}$, то ${\displaystyle a<c}$ (транзитивность отношений «меньше», «больше»).

В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных величин операция ${\displaystyle a+b=c}$ обладает следующими свойствами:

1. для любых двух величин ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ существует однозначно определённая величина ${\displaystyle c=a+b}$;
2. ${\displaystyle a+b=b+a}$ — коммутативность сложения;
3. ${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$ — ассоциативность сложения;
4. ${\displaystyle a+b>a}$ — монотонность сложения;
5. если ${\displaystyle a>b}$, то существует одна и только одна величина ${\displaystyle c}$, для которой ${\displaystyle b+c=a}$ — возможность вычитания;
6. каковы бы ни были величина ${\displaystyle a}$ и натуральное число ${\displaystyle n}$, существует такая величина ${\displaystyle b}$, что ${\displaystyle bn=a}$ — возможность деления;
7. каковы бы ни были величины ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, существует такое натуральное число ${\displaystyle n}$, что ${\displaystyle a<nb}$ — аксиома Архимеда или аксиома Евдокса;
8. если последовательности величин ${\displaystyle a_{1}<a_{2}<...<...<b_{2}<b_{1}}$ обладают тем свойством, что ${\displaystyle b_{n}-a_{n}<c}$ для любой величины ${\displaystyle c}$ при достаточно большом номере ${\displaystyle n}$, то существует единственная величина ${\displaystyle x}$, которая больше всех ${\displaystyle a_{n}}$ и меньше всех ${\displaystyle b_{n}}$ — аксиома непрерывности.

Вышеприведённые свойства сравнения и сложения, а также непрерывности, определяют полностью современное понятие системы положительных скалярных величин. Если в такой системе выбрать какую-либо величину ${\displaystyle l}$ за единицу измерения, то все остальные величины системы однозначно представляются в виде ${\displaystyle a=\alpha l}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — положительное действительное число^[1].

Переменная величина — это такая величина, которая в условиях данного вопроса может принимать различные значения. В противоположность переменной постоянная величина — это такая, которая в условиях данного вопроса сохраняет одно и то же значение. Одна и та же величина в одном вопросе может быть постоянной, в другом — переменной^[2].

Предел постоянной величины

Пределом постоянной величины ${\displaystyle b}$ называется сама величина ${\displaystyle b}$.

Бесконечно малая величина

Бесконечно малой величиной называется величина, предел которой равен нулю. Из постоянных величин лишь нуль является бесконечно малой величиной.

Бесконечно большая величина

Бесконечно большой величиной называется переменная величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает. Никакая постоянная величина не является бесконечно большой^[3].

Величина называется ограниченной, если её абсолютное значение не превосходит некоторого (постоянного) положительного числа ${\displaystyle M}$. Всякая постоянная величина является ограниченной. Всякая бесконечно большая величина не ограничена^[4].

Рассмотрение направленных отрезков на прямой, скоростей, могущих иметь два противоположных направления и других величин приводит к тому обобщению понятия скалярной величины, которое является основным в механике и физике. Система скалярных величин в этом понимании включает в себя, кроме положительной величины, нуль и отрицательную величину.

В более общем смысле слова величинами называются векторы, тензоры и другие «нескалярные величины». Такие величины можно складывать, но отношение неравенства ${\displaystyle a<b}$ для них теряет смысл.

Так как система действительных положительных чисел удовлетворяет перечисленным выше свойствам, а система всех действительных чисел обладает всеми свойствами скалярных величин, то вполне законно сами действительные числа называть величинами. Это особенно принято при рассмотрении переменных величин. При рассмотрении переменных величин принято говорить, что в различные моменты времени они принимают различные числовые значения^[5].