Сложение гармонических колебаний

Гармоническим колебанием физической величины (координаты, электрического напряжения, силы тока и других) называют колебание, изменяющееся во времени по синусоидальному закону:

${\displaystyle x(t)=A\sin(\omega t+\varphi _{0})}$ (1)

или

${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi _{0}),}$ (2)

где ${\displaystyle x}$ — отклонение колеблющейся величины в текущий момент времени ${\displaystyle t}$ от среднего за период значения, ${\displaystyle A}$ — амплитуда колебания, ${\displaystyle \omega }$ — циклическая частота, ${\displaystyle \varphi =(\omega t+\varphi _{0})}$ — полная фаза колебания, ${\displaystyle \varphi _{0}}$ — начальная фаза колебаний, равное значению полной фазы колебания и самой величины ${\displaystyle x}$ в момент времени ${\displaystyle t=0}$^[2].

В дифференциальной форме уравнение гармонических колебаний записывается в виде:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=0.}$ (3)

Решением уравнения (3) являются гармонические функции от времени (1) и (2).

Сложение гармонических колебаний можно осуществить графическим (геометрическим) способом. На рисунке изображены две концентрические окружности, вдоль которых двигаются материальные точки ${\displaystyle Q_{1}}$ и ${\displaystyle Q_{2}}$ (обозначены зелёным цветом) с различными угловыми частотами ${\displaystyle \omega _{1}}$ и ${\displaystyle \omega _{2}}$. Построив два радиус-вектора ${\displaystyle {\vec {OQ_{1}}}}$ и ${\displaystyle {\vec {OQ_{2}}}}$, по правилу сложения векторов (правило параллелограмма) получим результирующий вектор ${\displaystyle {\vec {OR}}}$. Проекции точек ${\displaystyle Q_{1}}$ и ${\displaystyle Q_{2}}$ на ось ${\displaystyle ox}$ совершают гармонические колебания, описываемые функциями (1) и (2). Проекция же точки ${\displaystyle R}$ на ось ${\displaystyle ox}$ совершает колебание, являющееся суммой колебаний гармонических функций проекций точек ${\displaystyle Q_{1}}$ и ${\displaystyle Q_{2}}$ на ось ${\displaystyle ox}$. Результатом такого сложения будет функция:

${\displaystyle x_{\text{сумм}}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t).}$ (4)

Аналитически сложение гармонических колебаний проще всего произвести, используя теорему косинусов. В результате в общем виде получим:

${\displaystyle x_{\text{сумм}}(t)=A_{1}\cos(\omega _{1}t+\varphi _{1})+A_{2}\cos(\omega _{2}t+\varphi _{2}).}$ (5)

Пусть ${\displaystyle \omega _{1}=\omega _{2}=\omega _{0}}$, тогда амплитуда результирующего колебания будет равна:

${\displaystyle A_{\text{сумм}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}.}$ (6)

Начальную фазу колебаний можно вычислить по формуле:

${\displaystyle \operatorname {tg} {\varphi }={\frac {A_{1}\sin {\varphi _{1}}+A_{2}\sin {\varphi _{2}}}{A_{1}\cos {\varphi _{1}}+A_{2}\cos {\varphi _{2}}}},}$ (7)

а ${\displaystyle \varphi }$, соответственно:

${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} {\Biggl (}{\frac {A_{1}\sin {\varphi _{1}}+A_{2}\sin {\varphi _{2}}}{A_{1}\cos {\varphi _{1}}+A_{2}\cos {\varphi _{2}}}}{\Biggl )}.}$ (8)

В случае сложения гармонических колебаний с неравными, но достаточно близкими частотами, то есть ${\displaystyle \omega _{1}\cong \omega _{2}}$, причём ${\displaystyle \omega _{1}<\omega _{2}}$, а начальные фазы и амплитуды колебаний равны (это упрощение принимается для наглядности), получим:

${\displaystyle x_{\text{сумм}}(t)=2A\cos {\Biggl (}{\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{2}}t{\Biggl )}\sin {\Biggl (}{\frac {\omega _{2}+\omega _{1}}{2}}t+\varphi _{0}{\Biggl )}.}$ (9)

Видно, что данное колебание не является гармоническим. Такие колебания называются биениями.

Выше описывалось сложение гармонических колебаний в случае, когда они были направлены вдоль одной прямой. Если точка участвует во взаимно перпендикулярных колебаниях, сложение производится иначе. Пусть, как и в первом случае, ${\displaystyle \omega _{1}=\omega _{2}=\omega _{0}}$, амплитуды взаимно перпендикулярных колебаний равны, соответственно, ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$, а фазы ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}}$. Складывая такие гармонические колебания, получим уравнение эллипса:

${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{A_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}}-{\frac {2x_{1}x_{2}}{A_{1}A_{2}}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})=\sin ^{2}(\varphi _{2}-\varphi _{1}).}$ (10)

В случае сложения гармонических колебаний с неравными, но достаточно близкими частотами, то есть ${\displaystyle \omega _{1}\cong \omega _{2}}$, причём ${\displaystyle \omega _{1}<\omega _{2}}$, а начальные фазы и амплитуды колебаний равны (это упрощение принимается для наглядности), получим:

${\displaystyle x_{\text{сумм}}(t)=2A\cos {\Biggl (}{\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{2}}t{\Biggl )}\sin {\Biggl (}{\frac {\omega _{2}+\omega _{1}}{2}}t+\varphi _{0}{\Biggl )}.}$ (11)

Видно, что данное колебание не является гармоническим. Такие колебания называются биениями.

Любое негармоническое колебание можно представить в виде суперпозиции различных гармонических колебаний (в этом случае называемых гармониками). Это лежит в основе гармонического анализа и представления негармонических колебаний с помощью суперпозиции гармонических колебаний.