Равноускоренное движение

Равноускоренное движение происходит в плоскости, содержащей векторы ускорения ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и начальной скорости ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$. С учётом того, что ${\displaystyle {\vec {v}}={\rm {d}}{\vec {r}}/{\rm {d}}t}$ (здесь ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор), траектория описывается выражением

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}}$.

На заданном интервале времени она представляет собой участок параболы, который при параллельности (то есть со или противо- направленности) векторов ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ превращается в отрезок прямой.

Для каждой из координат, скажем ${\displaystyle y}$, могут быть записаны аналогичные по структуре выражения:

${\displaystyle y(t)=y_{0}+v_{0y}t+{\frac {a_{y}t^{2}}{2}}}$,

где ${\displaystyle a_{y}}$ — составляющая ускорения вдоль оси ${\displaystyle y}$, а ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}=x_{0}{\vec {i}}+y_{0}{\vec {j}}+z_{0}{\vec {k}}}$ — радиус-вектор материальной точки в момент ${\displaystyle t=0}$ (${\displaystyle {\vec {i}}}$, ${\displaystyle {\vec {j}}}$, ${\displaystyle {\vec {k}}}$ — орты).

В примере с камнем ${\displaystyle x_{0}=y_{0}=z_{0}=0}$, компоненты ускорения ${\displaystyle a_{x}=a_{z}=0}$, ${\displaystyle a_{y}=-g}$, начальной скорости ${\displaystyle v_{x0}=v_{0}\cos \alpha }$, ${\displaystyle v_{y0}=v_{0}\sin \alpha }$, ${\displaystyle v_{z0}=0}$, при этом ${\displaystyle x(t)=v_{0x}t}$, а значит, ${\displaystyle y=\operatorname {tg} \alpha \cdot x-g/2v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha \cdot x^{2}}$.

В одномерном случае формула зависимости координаты тела от времени в случае равноускоренного прямолинейного движения имеет вид:

${\displaystyle x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}}$.

В случае равноускоренного движения любая из компонент скорости, например ${\displaystyle v_{x}}$, зависит от времени линейно:

${\displaystyle v_{x}=v_{0x}+a_{x}t}$.

При этом имеет место следующая связь между перемещением (${\displaystyle \Delta x=x-x_{0}}$) вдоль координаты ${\displaystyle x}$ и скоростью вдоль той же координаты:

${\displaystyle \Delta x={\frac {v_{x}^{2}-v_{0x}^{2}}{2a_{x}}}}$.

Отсюда можно получить выражение для ${\displaystyle x}$-составляющей конечной скорости тела при известных ${\displaystyle x}$-составляющих начальной скорости и ускорения:

${\displaystyle v_{x}=\pm {\sqrt {v_{0x}^{2}+2a_{x}\Delta x}}}$.

Если ${\displaystyle a_{x}=0}$, то ${\displaystyle v_{x}=v_{ox}}$, а ${\displaystyle \Delta x=v_{0x}t}$.

Выражения для смещений ${\displaystyle \Delta y}$, ${\displaystyle \Delta z}$ и компонент скорости вдоль координат ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ принимают точно такой же вид, как для ${\displaystyle \Delta x}$ и ${\displaystyle v_{x}}$, но символ ${\displaystyle x}$ всюду заменяется на ${\displaystyle y}$ или ${\displaystyle z}$.

Суммарно, по теореме Пифагора, перемещение составит

${\displaystyle |\Delta {\vec {r}}|={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}}$,

а модуль конечной скорости находится как

${\displaystyle |{\vec {v}}|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$.

Равноускоренное движение не может происходить неограниченно долго: это означало бы, что, начиная с какого-то момента времени ${\displaystyle t}$, модуль скорости тела ${\displaystyle |{\vec {v}}|}$ превысит величину скорости света в вакууме ${\displaystyle c}$, что исключается теорией относительности.

Равноускоренное движение реализуется при действии на тело (материальную точку) постоянной силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$, обычно в однородном гравитационном или электростатическом поле, если величина скорости тела значительно меньше, чем скорость света ${\displaystyle c}$. Тогда, по второму закону Ньютона, ускорение составит

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}},}$

где через ${\displaystyle m}$ обозначена масса тела. В примере с камнем роль ${\displaystyle {\vec {F}}}$ играет сила тяжести.

Если же скорость тела сопоставима со скоростью света, то закон Ньютона в выписанном виде неприменим. При этом, в случае действия постоянной силы, происходит так называемое релятивистски равноускоренное движение, при котором постоянно только собственное ускорение, а ускорение в фиксированной ИСО приближается к нулю со временем по мере приближения величины скорости к её пределу ${\displaystyle c}$.

Формула перемещения при равноускоренном движении используется при доказательстве теоремы о кинетической энергии. Для этого необходимо перенести ускорение в левую часть и домножить обе части на массу тела:

${\displaystyle ma_{x}\Delta x={\frac {mv_{x}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{0x}^{2}}{2}}}$.

Записав аналогичные соотношения для координат ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ и просуммировав все три равенства, получим соотношение:

${\displaystyle {\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {r}}={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {mv_{0}^{2}}{2}}}$.

Слева стоит работа постоянной равнодействующей силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$, а справа — разность кинетических энергий в конечный и начальный моменты движения. Полученная формула представляет собой математическое выражение теоремы о кинетической энергии точки для случая равноускоренного движения^[2].

Равнопеременным называется движение, при котором тангенциальная (параллельная скорости) составляющая ускорения постоянна^[3]. Такое движение не является равноускоренным, кроме ситуации, когда оно происходит по прямой, но в математическом плане может быть рассмотрено аналогично.

В этом случае вводится обобщённая координата ${\displaystyle S}$, часто называемая путём, соответствующая длине пройденной траектории (длине дуги кривой). Таким образом, формула приобретает вид:

${\displaystyle \Delta S={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a_{\tau }}}}$,

где ${\displaystyle a_{\tau }}$ — тангенциальное ускорение, «отвечающее» за изменение модуля скорости тела. Для скорости получаем:

${\displaystyle v=\pm {\sqrt {v_{0}^{2}+2a_{\tau }\Delta S}}}$.

При ${\displaystyle a_{\tau }=0}$ имеем движение с постоянной по модулю скоростью.

Иногда прилагательное равнопеременное заменяют на криволинейное равноускоренное, что вносит путаницу, так как, скажем, равноускоренное движение камня по кривой (параболе) в поле тяжести не равнопеременное.