Принцип д’Аламбера — Лагранжа

Пусть механическая система с голономными, удерживающими, идеальными связями представлена материальными точками с массами ${\displaystyle m_{1},m_{2},...,m_{N}}$^[2]. Если к каждой материальной точке ${\displaystyle m_{i}}$ приложены активные силы с равнодействующей ${\displaystyle {\vec {F_{i}}}}$ и пассивные силы с равнодействующей ${\displaystyle {\vec {N_{i}}}}$, т, согласно второму закону Ньютона:

${\displaystyle m_{i}{\vec {w_{i}}}={\vec {F_{i}}}+{\vec {N_{i}}},}$ (1)

или

${\displaystyle {\vec {F_{i}}}-m_{i}{\vec {w_{i}}}+{\vec {N_{i}}}=0.}$ (2)

Зафиксируем теперь некоторый момент времени и сообщим механической системе виртуальное (возможное) перемещение ${\displaystyle \delta {\vec {r_{1}}},\delta {\vec {r_{2}}},...,\delta {\vec {r_{N}}}}$. Умножим скалярно каждое уравнение (1) на соответствующее ${\displaystyle \delta {\vec {r_{i}}}}$ и суммируем все уравнения:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}({\vec {F_{i}}}-m_{i}{\vec {w_{i}}})\delta {\vec {r_{i}}}+\sum _{i=1}^{N}{\vec {N_{i}}}\delta {\vec {r_{i}}}=0.}$ (3)

Сумма работ идеальных связей на любом виртуальном перемещении равна нулю, поэтому:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}({\vec {F_{i}}}-m_{i}{\vec {w_{i}}})\delta {\vec {r_{i}}}=0.}$ (4)

Это равенство называется общим уравнением механики.

Во всякой механической системе с идеальными удерживающими связями в каждый момент времени движения на любом виртуальном перемещении сумма механических работ, производимых активными силами и силами инерции, всегда равна нулю.