Наклонная плоскость

Уравнение второго закона Ньютона для движения тела по наклонной плоскости записывается как

${\displaystyle m{\vec {a}}={\vec {N}}+m{\vec {g}}+{\vec {f}}}$,

где ${\displaystyle m}$ — масса тела, ${\displaystyle {\vec {a}}}$ — вектор ускорения, ${\displaystyle {\vec {N}}}$ — сила нормальной реакции (воздействия) опоры, ${\displaystyle {\vec {g}}}$ — ускорение свободного падения, ${\displaystyle {\vec {f}}}$ — сила трения, по величине равная ${\displaystyle \mu N}$ при движении и ${\displaystyle mg\sin \theta }$ в покое. Предполагается, что компоненты скорости в направлении перпендикулярном плоскости рисунка, а также дополнительных сил нет^[2].

Тело может осуществлять равноускоренное движение с ускорением

${\displaystyle a=g(\sin \theta +\mu \cos \theta )}$ — при подъёме по наклонной плоскости;

${\displaystyle a=g(\sin \theta -\mu \cos \theta )}$ — при спуске с наклонной плоскости;

здесь ${\displaystyle \mu }$ — коэффициент трения тела о поверхность, ${\displaystyle \theta }$ — угол наклона плоскости.

Характер движения тела, помещённого на наклонную плоскость без придания ему начальной скорости, зависит от соотношения между углом ${\displaystyle \theta }$ и критическим углом ${\displaystyle \theta _{crit}}$ (${\displaystyle \operatorname {tg} \theta _{crit}=\mu }$). Тело будет покоиться, если угол наклона плоскости ${\displaystyle \theta }$ меньше критического угла, и равноускоренно спускаться, если ${\displaystyle \theta >\theta _{crit}}$. В особом случае, когда угол наклона плоскости ${\displaystyle \theta }$ равен 90°, ${\displaystyle a=g}$ и тело падает вдоль стены. В другом особом случае — когда угол наклона плоскости равен 0° и она параллельна земле — тело не может двигаться без приложения внешней силы.

Подъём при каком бы то ни было ${\displaystyle \theta }$ и спуск при ${\displaystyle \theta <\theta _{crit}}$ реализуемы только если у тела есть начальная скорость (направленная, соответственно, вверх или вниз). При подъёме тело через некоторое время остановится, а затем либо останется в покое (если ${\displaystyle \theta <\theta _{crit}}$), либо самостоятельно начнёт спускаться (если ${\displaystyle \theta >\theta _{crit}}$). При спуске в условиях ${\displaystyle \theta <\theta _{crit}}$, ставшем возможным за счёт начальной скорости, также произойдёт остановка.

При ${\displaystyle \theta =\theta _{crit}}$ и наличии начальной скорости, направленной вниз, тело должно спускаться с этой скоростью без ускорения.

Для углов близких к ${\displaystyle \theta _{crit}}$ скажется несовершенство приближения постоянства коэффициента трения. Реально, коэффициент трения в покое (определяющий предел силы трения покоя ${\displaystyle f_{stat,max}=(mg\sin \theta )_{max}=\mu _{stat}N}$) немного отличается, чаще в бóльшую сторону, от ${\displaystyle \mu }$, из-за чего критический угол для запуска движения немного больше, чем для самого движения. Нередко, как в рассуждениях выше, такой деталью пренебрегают^[3].