Многоугольник Петри

Джон Флиндерс Петри (1907—1972) был единственным сыном египтолога Флиндерса Петри^[3]. Он родился в 1907 и уже школьником показал замечательные математические способности. При полной концентрации он мог ответить на сложные вопросы о четырёхмерных объектах путём их визуализации.

Он первым обратил внимание на важность правильных пространственных многоугольников, которые возникают на поверхностях правильных многогранников. Коксетер в 1937 объяснил, как он и Петри начали расширять классическое понятие правильных многоугольников:

Однажды, в 1926, Дж. Ф. Петри сказал мне в большом возбуждении, что он обнаружил два новых правильных многогранника, бесконечных, но без ложных вершин. Когда мой скептицизм начал убывать, он мне их описал — один состоит из квадратов, по шесть в каждой вершине, а другой состоит из шестиугольников, по четыре на вершину ^[4].

В 1938 Петри, Коксетер, Патрик Дюваль и Х. Т. Флазер выпустили книгу The Fifty-Nine Icosahedra (Пятьдесят девять икосаэдров) ^[5]. Понимая важность пространственных многогранников, использованных Петри, Коксетер назвал их именем своего друга, когда писал книгу Regular Polytopes (книга) (Правильные многогранники).

В 1972, через несколько месяцев после выхода на пенсию, Петри погиб, когда пытался перебежать шоссе рядом со своим домом в графстве Суррей ^[6].

Идея многоугольников Петри была позднее распространена на полуправильные многогранники.

Многоугольник Петри правильного многогранника, имеющего символ Шлефли ${\displaystyle \{p,q\}}$, имеет ${\displaystyle h}$ сторон, где

${\displaystyle cos^{2}(\pi /h)=cos^{2}(\pi /p)+cos^{2}(\pi /q)}$.

Многоугольники Петри двойственных правильных многогранников ${\displaystyle \{p,q\}}$ и ${\displaystyle \{q,p\}}$ имеют подобные проекции.

Многоугольники Петри для правильных многогранников (красные многоугольники)

тетраэдр	куб	октаэдр	додекаэдр	икосаэдр
центрирован пр рёбрам	центрирован по вершинам	центрирован по граням	центрирован по граням	центрирован по вершинам
4 стороны	6 сторон	6 сторон	10 сторон	10 сторон
${\displaystyle V:(4,0)}$	${\displaystyle V:(6,2)}$	${\displaystyle V:(6,0)}$	${\displaystyle V:(10,10,0)}$	${\displaystyle V:(10,2)}$
Многоугольники Петри являются внешними границами этих ортогональных проекций. Синим выделены «передние» рёбра, а серым цветом показаны задние рёбра. Концентрические кольца вершин вершин отсчитываются снаружи внутрь с обозначением: ${\displaystyle V:(a,b,\dots )}$, кончая нулём, если нет центральных вершин.

Бесконечные правильные пространственные многоугольники (апейрогоны) можно также определить как многоугольники Петри для правильных мозаик, имеющих углы 90, 120 и 60 градусов (для квадратных, шестиугольных и треугольных граней соответственно).

Бесконечные правильные пространственные многоугольники существуют также в качестве многоугольников Петри для правильных гиерболических мозаик, подобных треугольной мозаике порядка 7 {3,7}:

Можно определить также многоугольники Петри правильных многогранников в четырёхмерном пространстве {p, q ,r}.

{3,3,3} пятиячейник 5 сторон V:(5,0)	{3,3,4} шестнадцатиячейник 8 сторон V:(8,0)	{4,3,3} тессеракт 8 сторон V:(8,8,0)
{3,4,3} Двадцатичетырёхъячейник 12 сторон V:(12,6,6,0)	{5,3,3} Стодвадцатиячейник 30 сторон V:((30,60)3,603,30,60,0)	{3,3,5} Шестисотячейник 30 сторон V:(30,30,30,30,0)

Проекции многоугольников Петри наиболее полезны для визуализации многогранников размерности 4 и выше. Таблица представляет многоугольники Петри трёх семейств правильных многогранников (симплексы, гиперкубы, ортоплексы) и исключительных простых групп Ли E_n, которые образуют полуправильные и однородные многогранники для размерностей от 4 до 8.

Таблица неприводимых семейств многогранников

Семейство n	n-симплекс	n-гиперкуб	n-ортоплекс	n-полукуб	Однородный 1 k2 многогранник	Однородный 2 k1 многогранник	Однородный k21 многогранник	пятиугольный многогранник
Группа	An	BCn		I2(p) Dn	E6 E7 E8 F4 G2			Hn
2	Треугольник	Квадрат		p-угольник (пример: p=7)	Шестиугольник			Пятиугольник
3	Тетраэдр	Куб	Октаэдр	Тетраэдр				Додекаэдр	Икосаэдр
4	Пятиячейник	Тессеракт	Шестнадцати- ячейник	Полутессеракт	Двадцати- четырёхъячейник			Стодвадцатиячейник	Шестисотячейник
5	Гексатерон	Пентеракт	5-ортоплекс	5-полугиперкуб
6-мерный многогранник	6-симплекс	6-куб	6-ортоплекс	6-полукуб	Госсет 1 22	Госсет 2 21
7-мерный многогранник	7-симплекс	7-куб	7-ортоплекс	7-полукуб	Госсет 1 32	Госсет 2 31	Госсет 3 21
8-мерный многогранник	8-симплекс	8-куб	8-ортоплекс	8-полукуб	Госсет 1 42	Госсет 2 41	Госсет 4 21
9-мерный многогранник	8-симплекс	9-куб	9-ортоплекс	9-полукуб
10-мерный многогранник	10-симплекс	10-куб	10-ортоплекс	10-полукуб

Для обсуждения двойственных многоугольников Петри введём понятие схема ^[7] Неформально, схема P — это семейство многоугольников (которые могут быть бесконечноугольными), такое, что

• Любые два многоугольника имеют общее ребро или вершину, либо не пересекаются вовсе.
• Каждое ребро принадлежит ровно двум многоугольникам.
• Многоугольники, содержащие выбранную вершину, образуют один цикл смежных многоугольников (имеющих общие рёбра).
• Любые два многоугольника связаны цепочкой смежных многоугольников.

Схема P будет иметь группу автоморфизмов Γ (P) и P называется регулярной, если Γ (P) транзитивна на множестве F (P) флагов P. Если регулярная схема P имеет p-угольные грани и q-угольные вершинные фигуры, то говорят, что она имеет (Шлефли) тип {p, q}. Любой правильный многогранник или бесконечногранник порождает регулярную схему естественным образом.

Петри двойственный (Петриал^[8]) правильного многогранника — это регулярная схема, вершины и рёбра которой соответствуют вершинам и рёбрам исходного многогранника, а гранями являются множество многоугольников Петри. Эта схема обозначается как оператор π (в виде верхнего индекса) над правильным многогранником. Каждое ребро принадлежит двум граням (многоугольникам Петри) ^{[9][10][11][12]}.

Петриал тетраэдра, {3,3}^π, имеет 4 вершины, 6 рёбер и 3 квадратные грани (в виде пространственных квадратов, то есть вершины квадрата не лежат в одной плоскости). Имея эйлерову характеристику χ = 1, петриал топологически идентичен полукубу {4,3}/2.

Петриал куба, {4,3}^π, имеет 8 вершин, 12 рёбер и 4 пространственных шестиугольника, показанных красным, зелёным, синим и оранжевым на рисунке. Он имеет эйлерову характеристику 0, и его можно рассматривать как четыре шестиугольные грани тороидальной шестиугольной мозаики {6,3}_(2,0).

Петриал октаэдра, {3,4}^π, имеет 6 вершин, 12 рёбер и 4 пространственных шестиугольных грани. Петриал имеет эйлерову характеристику −2, и имеет отображение в гиперболическую шестиугольную мозаику 4-го порядка, {6,4}₃.

Петриал додекаэдра, {5,3}^π, имеет 20 вершин, 30 рёбер и 6 граней в виде пространственных додекаэдров. Его эйлерова характеристика равна −4, и он связан с гиперболической мозаикой {10,3}₅.

Петриал икосаэдра, {3,6}^π, имеет 12 вершин, 30 рёбер и 6 граней в виде пространственных додекаэдров. Его эйлерова характеристика равна −12, и он связан с гиперболической мозаикой {10,5}₃.

Правильные петриалы

Петриал тетраэдра {3,3}π = {4,3}3 = {4,3}/2	Петриал куба {4,3}π = {6,3}3 = {6,3}(2,0)	Петриал октаэдра {3,4}π = {6,4}3	Петриал додекаэдра {5,3}π = {10,3}5.	Петриал икосаэдра {3,5}π = {10,5}3.
3 пространственных квадрата	4 пространственных шестиугольника		6 пространственных десятиугольников
{4,3}3 = Полукуб (геометрия)	{6,3}3 = {6,3}(2,0)