Прямоугольный параллелепипед

Прямоуго́льный параллелепи́пед — в стереометрии это прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники^[1].

Рис. 1

Параллелепипед как частный случай призмы

Параллелепипедом называется призма, основание которой — параллелограмм. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они — параллелограммы^[2].

Свойства параллелепипеда

Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.
Параллелепипед имеет четыре диагонали; все они пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

Параллелепипед, четыре боковые грани которого — прямоугольники, называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней — прямоугольники, называется прямоугольным.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.

Длины непараллельных рёбер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами или измерениями. У прямоугольного параллелепипеда три измерения — $a,b,c$ .

В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали $d$ равен сумме квадратов трёх его измерений: $d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2},$ откуда длина диагонали равна $d={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.$

Объём прямоугольного параллелепипеда $V=abc$ .
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда $S=2(ab+bc+ac)$ ^[3].

Куб

Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны $a=b=c$ . Все шесть граней куба — равные квадраты. У куба плоскость любого диагонального сечения является плоскостью симметрии. Таким образом, у куба девять плоскостей симметрии. Квадрат диагонали куба $d^{2}=3a^{2}$ . Объём куба $V=a^{3}$ . Площадь поверхности куба $S=6a^{2}$ ^[3].

Симметрия

У прямоугольного параллелепипеда, как у всякого параллелепипеда, есть центр симметрии — точка пересечения его диагоналей. У прямоугольного параллелепипеда есть три плоскости симметрии, проходящие через его центр симметрии параллельно граням. Одна из них проходит через середины четырёх параллельных рёбер параллелепипеда. Концы рёбер являются симметричными точками. Если у параллелепипеда все линейные размеры разные, то у него нет других плоскостей симметрии, кроме названных. Если же у параллелепипеда два линейных размера равны, то у него есть ещё две плоскости симметрии — это плоскости диагональных сечений^[1].

Примечания

↑ ¹ ² Погорелов А. В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия: 10—11-е классы: базовый и углублённый уровни: учебник. — М.: Просвещение, 2022. — С. 75. — 174 с.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2001. — С. 364. — 509 с.
↑ ¹ ² Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1981. — С. 222. — 723 с.

Литература

Погорелов А. В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия: 10—11-е классы: базовый и углублённый уровни: учебник. — М.: Просвещение, 2022. — 174 с.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2001. — 509 с.
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1981. — 723 с.

[:0-1] ¹ ² Погорелов А. В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия: 10—11-е классы: базовый и углублённый уровни: учебник. — М.: Просвещение, 2022. — С. 75. — 174 с.

[2] Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2001. — С. 364. — 509 с.

[:1-3] ¹ ² Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1981. — С. 222. — 723 с.

[1]

[2]

[3]