Пространственный многоугольник

Правильный пространственный многоугольник является изогональной фигурой с одинаковыми длинами сторон. В 3-мерном пространстве правильные пространственные многоугольники являются зигзаг-многоугольниками (антирпизматическими многоугольниками), вершины которых поочерёдно принадлежат двум параллельным плоскостям. Стороны n-антипризмы могут определять правильный пространственный 2n-угольник.

Правильному пространственному n-угольнику можно дать обозначение {p}#{ } как смесь обозначений правильного многоугольника {p} и ортогонального отрезка { }^[3]. Симметрия между последовательными вершинами является скользящей.

Ниже в примерах показаны однородные квадратные и пятиугольные антипризмы. Звёздные антипризмы также образуют правильные пространственные многоугольники с различным способом соединения вершин верхней и нижней звёзд.

Правильные зигзаг-многоугольники

Пространственный квадрат	Пространственный шестиугольник	Пространственный восьмиугольник
{2}#{ }	{3}#{ }	{4}#{ }
sr{2,2}	sr{2,3}	sr{2,4}

Пространственный десятиугольник
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }
sr{2,5}	Пентаграммная антипризма	Пентаграммная скрещенная антипризма

Правильный сложный пространственный 2n-угольник можно построить путём добавления второго пространственного 2n-угольника, полученного вращением первого. В этом случае вершины каждого из составляющих 2n-угольников лежат в вершинах призматической комбинации антипризм.

Правильная комбинация пространственных зигзаг-многоугольников

Пространственные квадраты		Пространственные шестиугольники	Пространственные десятиугольники
Два {2}#{ }	Три {3}#{ }	Два {3}#{ }	Два {5/3}#{ }

Многоугольники Петри — это правильные пространственные многоугольники, задаваемые внутри правильных многогранников и политопов. Например, 5 платоновых тел содержат 4, 6 и 10-сторонние правильные пространственные многоугольники, как видно из этих ортогональных проекций (красными отрезками показана проективная оболочка). Тетраэдр и октаэдр включают все вершины в зигзаг-многоугольника и могут рассматриваться как антпризмы отрезков и треугольников соответственно.

Косой многоугольник имеет правильные грани или вершинные фигуры в виде правильных пространственных многоугольников. Имеется бесконечно много заполняющих всё пространство правильных косых многоугольников в 3-мерном пространстве и существуют косые многоугольники в 4-мерном пространстве, некоторые в виде однородного 4-мерного многогранника.

вершинные фигуры трёх бесконечных правильных косых многоугольников

{4,6|4}	{6,4|4}	{6,6|3}
Правильный косой шестиугольник {3}#{ }	Правильный косой квадрат {2}#{ }	Правильный косой шестиугольник {3}#{ }

Изогональный пространственный многоугольник — это пространственный многоугольник с вершинами одного типа, соединёнными двумя типами сторон. Изогональные пространственные многоугольники с равными длинами сторон можно считать полуправильными. Они подобны зигзаг-многоугольникам на двух плоскостях, за исключением того, что сторонам позволяется как переходить на другую плоскость, так и оставаться на той же плоскости.

Изогональные пространственные многоугольники можно получить на n-угольных призмах с чётным числом сторон, попеременно двигаясь по сторонам многоугольника и между многоугольниками. Например, по вершинам куба — проходим вершины вертикально по красным рёбрам и по синим рёбрам вдоль сторон квадратов оснований.

Куб, квадрат-диагональ	Витая призма	Куб	Пересечённый куб
Шестигранная призма	Шестигранная призма	Шестигранная призма

В 4-мерном пространстве правильные пространственные многоугольники могут иметь вершины на торе Клиффорда и связаны смещением Клиффорда. В отличие от зигзаг-многоугольников, пространственные многоугольники двойного вращения могут иметь нечётное число сторон.

Многоугольники Петри правильного 4-мерного многогранника определяют правильные пространственные многоугольники. Число Кокстера для каждой группы симметрий Коксетера выражает, сколько сторон имеет многоугольник Петри. Так, это будет 5-сторонний многоугольник для пятиячейника, 8-сторонний для тессеракта и шестнадцатиячейника, 12 сторон для двадцатичетырёхячейника и 30 сторон для стодвадцатиячейника и шестисотячейника.

Если ортогонально спроектировать эти правильные пространственные многоугольники на плоскость Коксетера, они превращаются в правильные огибающие многоугольники на плоскости.

A4, [3,3,3]	B4, [4,3,3]		F4, [3,4,3]	H4, [5,3,3]
Пятиугольник, Пентаграмма	Восьмиугольник		Двенадцатиугольник	Тридцатиугольник
пятиячейник {3,3,3}	тессеракт {4,3,3}	шестнадцатиячейник {3,3,4}	двадцатичетырёхячейник {3,4,3}	стодвадцатиячейник {5,3,3}	шестисотячейник {3,3,5}

n-n дуопризма и двойственная дуопирамида также имеют 2n-сторонние полигоны Петри. (тессеракт является 4-4 дуопризмой, а шестнадцатиячейник — 4-4 дуопирамидой.)

Шестиугольник		Десятиугольник		Двенадцатиугольник
3-3 дуопризма	3-3 дуопирамида	5,5-дуопризма	5-5 дуопирамида	6-6 дуопризма	6-6 дуопирамида