Развёртка многогранника

Изображённые развёртки платоновых тел снабжены «крылышками» для склеивания граней.

При развёртке по рёбрам каждое ребро либо разрезается, либо остаётся склеенным. Сохранённые рёбра образуют остовное дерево графа граней многогранника: вершины этого дерева отвечают граням, а рёбра — общим рёбрам соседних граней.

Для многогранника рода 0 с ${\displaystyle V}$ вершинами, ${\displaystyle E}$ рёбрами и ${\displaystyle F}$ гранями остовное дерево содержит ${\displaystyle F-1}$ сохранённых рёбер, следовательно, разрезается

${\displaystyle E-(F-1)=E-F+1}$

рёбер. По формуле Эйлера ${\displaystyle V-E+F=2}$, откуда число разрезаемых рёбер равно ${\displaystyle V-1}$. Так, у куба ${\displaystyle (V=8,\;E=12,\;F=6)}$ сохраняется 5 рёбер и разрезается 7.

Для поверхностей рода ${\displaystyle g>0}$ формула Эйлера принимает вид ${\displaystyle V-E+F=2-2g}$, и число разрезаемых рёбер равно ${\displaystyle V-1+2g}$; в частности, для тороидального многогранника ${\displaystyle (g=1)}$ оно составляет ${\displaystyle V+1}$.

Граф выпуклого многогранника планарен и 3-связен (теорема Штейница), поэтому к нему применимы результаты теории планарных графов.

Число развёрток

Следует различать два счёта:

• число остовных деревьев графа граней — оно равно числу способов выбрать множество разрезаемых рёбер;
• число различных развёрток — плоских фигур, рассматриваемых с точностью до движений плоскости; разные деревья, переводимые друг в друга симметрией многогранника, дают одинаковую развёртку.

Второе число значительно меньше первого:

Многогранник	Остовных деревьев графа граней	Различных развёрток
Тетраэдр	16	2
Куб	384	11
Октаэдр	384	11
Додекаэдр	5 184 000	43 380
Икосаэдр	5 184 000	43 380

Числа развёрток додекаэдра и икосаэдра вычислены Ф. Бюкенхаутом и М. Паркером в 1998 году^[9].

Совпадение чисел у двойственных многогранников (куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр) объясняется не изоморфизмом графов граней — граф граней куба имеет 6 вершин, а октаэдра 8, — а тем, что у двойственных тел одинаковое число рёбер, и множеству разрезаемых рёбер одного тела взаимно однозначно соответствует множество сохраняемых рёбер другого.

Отсутствие наложений

При неудачном выборе остовного дерева грани развёртки могут перекрываться. Для платоновых тел этого не происходит никогда: Т. Хорияма и В. Сёдзи доказали в 2011 году, что все развёртки по рёбрам пяти правильных многогранников свободны от наложений^[10]. Для произвольных выпуклых многогранников соответствующий вопрос остаётся открытым (см. ниже).

Для невыпуклых многогранников известны контрпримеры: М. Берн, Э. Демейн, Д. Эппстейн, Э. Куо, А. Мантлер и Дж. Снойинк построили многогранник с 24 выпуклыми гранями и многогранник с 36 треугольными гранями, не допускающие развёртки по рёбрам без наложений. Препринт работы появился в 1999 году, журнальная публикация — в 2003-м^[11]. Те же авторы показали, что такие многогранники всё же разворачиваются, если допустить разрезы по граням.

Если разрезы разрешено проводить по внутренним точкам граней, задача существенно упрощается: для любого выпуклого многогранника известны по крайней мере два способа построить развёртку без наложений.

Звёздная развёртка строится так: выбирается точка ${\displaystyle x}$ на поверхности многогранника и проводятся кратчайшие пути (геодезические) от неё ко всем вершинам; разрезы делаются вдоль этих путей. Б. Аронов и Дж. О’Рурк доказали в 1992 году, что такая развёртка не имеет самоналожений^[12].

Развёртка из источника использует разрезы вдоль множества точек, до которых кратчайший путь из ${\displaystyle x}$ не единствен. Отсутствие наложений для неё установили М. Шарир и А. Шорр^[13].

Таким образом, для выпуклых многогранников вопрос о существовании развёртки без наложений решён положительно в классе общих развёрток и остаётся открытым в классе развёрток по рёбрам.

В 1975 году Дж. Шепард сформулировал гипотезу, известную также как гипотеза Дюрера: каждый выпуклый многогранник имеет хотя бы одну развёртку по рёбрам без наложений^[14]. Имя Дюрера закрепилось за задачей по традиции: в трактате 1525 года приведены изображения развёрток, но как математическое утверждение вопрос там не ставился^[7].

Гипотезу можно сформулировать двояко, поскольку разрезаемые и сохраняемые рёбра образуют деревья в двух разных графах: разрезы составляют остовное дерево графа вершин и рёбер многогранника (${\displaystyle V-1}$ ребро), а сохранённые рёбра — остовное дерево графа граней (${\displaystyle F-1}$ ребро)^[7].

Гипотеза не доказана и не опровергнута. Она подтверждена для пирамид, призм, антипризм и «куполов» — многогранников, у которых каждая грань, кроме основания, имеет с ним общее ребро, а также для всех выпуклых многогранников с числом граней не более 12. Для призматоидов — выпуклых оболочек двух многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях, — результат получен лишь в отдельных случаях^[15].

В 2014 году Мохаммад Гоми доказал, что для любого выпуклого многогранника существует аффинное преобразование, после применения которого многогранник допускает развёртку по рёбрам без наложений^[16]. Отсюда следует, что в каждом комбинаторном классе выпуклых многогранников найдётся представитель с развёрткой без наложений, однако сама гипотеза Дюрера этим не доказывается: аффинное преобразование меняет форму многогранника.

Обратная задача — по набору многоугольников определить, склеивается ли из него выпуклый многогранник, — решается теоремой Александрова (1941).

Единственность в этой теореме — усиление теоремы Коши о жёсткости: Коши доказывал, что многогранник нельзя изогнуть, сохраняя грани, а Александров — что сама склейка определяет многогранник однозначно, даже если рёбра будущего многогранника заранее неизвестны и могут проходить внутри граней развёртки^[4].

Развёртка сохраняет длины и углы, то есть является локальной изометрией всюду, кроме вершин. В вершине многогранника сосредоточена кривизна, измеряемая угловым дефектом

${\displaystyle \delta _{i}=2\pi -\sum _{j}\alpha _{ij},}$

где ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ — углы граней при ${\displaystyle i}$-й вершине. Именно из-за ненулевого дефекта поверхность многогранника нельзя развернуть на плоскость без разрезов.

Согласно теореме Декарта, для любого выпуклого многогранника сумма дефектов всех вершин равна ${\displaystyle 4\pi }$. Например, у куба в каждой из 8 вершин сходятся три прямых угла, дефект равен ${\displaystyle 2\pi -{\tfrac {3\pi }{2}}={\tfrac {\pi }{2}}}$, и суммарно ${\displaystyle 8\cdot {\tfrac {\pi }{2}}=4\pi }$. Теорема Декарта представляет собой дискретный аналог теоремы Гаусса — Бонне и эквивалентна формуле Эйлера.

Архимедовы тела (полуправильные многогранники) — выпуклые многогранники, гранями которых служат правильные многоугольники двух или более типов, причём все вершины устроены одинаково. Существует 13 архимедовых тел, не считая бесконечных семейств призм и антипризм. Их развёртки сложнее развёрток платоновых тел из-за разнообразия граней^[19].

Примеры:

• усечённый тетраэдр — 4 правильных шестиугольника и 4 треугольника;
• кубооктаэдр — 8 треугольников и 6 квадратов, при каждой вершине чередуются треугольник и квадрат;
• ромбокубооктаэдр — 8 треугольников и 18 квадратов.

При построении развёрток архимедовых тел учитывают типы граней, порядок их чередования вокруг вершины и возможность наложений; для всех архимедовых тел развёртки без наложений известны.

Развёртки невыпуклых многогранников устроены сложнее. Во-первых, существование развёртки по рёбрам без наложений не гарантировано^[11]. Во-вторых, доля развёрток с самоналожениями значительно выше. В-третьих, задача распознавания разворачиваемости вычислительно трудна^[18].

Особый интерес представляют тела Кеплера — Пуансо — правильные звёздчатые многогранники: малый звёздчатый додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр. Их модели обычно склеивают не из развёртки самого тела, а из развёрток пирамид, надстраиваемых над гранями исходного выпуклого многогранника^[19].

У тороидальных многогранников поверхность гомеоморфна тору, а не сфере, поэтому для развёртывания требуется разрезать не менее двух независимых циклов, а число разрезаемых рёбер определяется родом поверхности.

Понятие развёртки обобщается на многомерные многогранники — политопы. Развёртка ${\displaystyle n}$-мерного политопа составляется из его ${\displaystyle (n-1)}$-мерных граней (ячеек) и располагается в ${\displaystyle (n-1)}$-мерном пространстве. Для четырёхмерных политопов развёртка представляет собой трёхмерную фигуру из многогранников.

Существует шесть правильных четырёхмерных политопов: пятиячейник (5 тетраэдров), тессеракт (8 кубов), шестнадцатиячейник (16 тетраэдров), 24-ячейник (24 октаэдра), стодвадцатиячейник (120 додекаэдров) и шестисотячейник (600 тетраэдров).

Число различных развёрток вычислено для первых трёх: 3 у пятиячейника, 261 у тессеракта и 110 912 у шестнадцатиячейника^[20]. Развёртка тессеракта устроена как центральный куб с шестью кубами, присоединёнными к его граням, и ещё одним кубом на одном из внешних — трёхмерный аналог крестообразной развёртки куба. Показано также, что все 261 развёртка тессеракта свободны от наложений^[20].

В размерности ${\displaystyle n\geqslant 5}$ правильных политопов только три: симплекс, гиперкуб и кросс-политоп.

Метод последовательного развёртывания. Выбирают начальную грань и вычерчивают её на плоскости, затем последовательно пристраивают соседние грани по общим рёбрам, следя за тем, чтобы новые грани не перекрывали уже построенные.

Метод координат. Определяют координаты вершин многогранника в пространстве, после чего для каждой грани вычисляют координаты её вершин на плоскости развёртки. Метод точнее предыдущего и лежит в основе компьютерных реализаций.

• Гипотеза Дюрера — существует ли у каждого выпуклого многогранника развёртка по рёбрам без наложений. Открыта в 1975 году^[14].
• Минимальная развёртка — построение развёртки с наименьшей площадью объемлющего прямоугольника; задача возникает при раскрое материала и относится к NP-трудным.
• Число развёрток правильных политопов — для 24-ячейника, стодвадцатиячейника и шестисотячейника точные значения неизвестны^[20].
• Простейший неразворачиваемый многогранник — минимальное число вершин и граней топологически выпуклого многогранника без развёртки по рёбрам уточняется в современных работах.