Первообразные элементарных функций

У каждого математического оператора имеется обратная операция. Обратным действием по отношению к взятии производной является поиск первообразной. Проще говоря, при поиске первообразной восстанавливают исходный вид функции до того, как от неё была получена производная.

Основное свойство первообразной: Функция ${\displaystyle F(x)}$, являющаяся первообразной для ${\displaystyle f(x)}$ на данном промежутке, при прибавлении произвольной константы ${\displaystyle C}$ (то есть в виде ${\displaystyle F(x)+C}$) также остаётся первообразной для ${\displaystyle f(x)}$. Более того, любая первообразная ${\displaystyle f(x)}$ на этом промежутке может быть выражена как ${\displaystyle F(x)+C}$, где ${\displaystyle C}$ — произвольная постоянная.

Пример: Для вычисления первообразной степенной функции применяют формулу:

${\displaystyle F(x^{n})=x^{n+1}/(n+1)+C}$, где

${\displaystyle C}$ — константа, значение которой устанавливается на основании дополнительных сведений о функции.

Так как производная константы равна нулю, при поиске первообразной учитывают наличие некоторого свободного члена — константы.

Геометрически это свойство означает, что все первообразные одной и той же функции отличаются лишь вертикальным сдвигом вдоль оси ${\displaystyle OY}$. Множество всех первообразных функции ${\displaystyle f(x)}$ на данном промежутке образует неопределённый интеграл функции ${\displaystyle f}$ на этом промежутке.

Помимо формулы для степенной функции, существуют также правила, позволяющие находить первообразные различных элементарных функций:

${\displaystyle \int \!0\,dx=C}$ (первообразная от нуля есть константа, в любых пределах интегрирования интеграл от нуля равен нулю)

${\displaystyle \int \!a\,dx=ax+C}$

${\displaystyle \int \!x^{n}\,dx={\begin{cases}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,&n\neq -1\\\ln \left|x\right|+C,&n=-1\end{cases}}}$

${\displaystyle \int \!{dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}+C=-{1 \over a}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+C}$

${\displaystyle \int \!{dx \over {x^{2}-a^{2}}}={1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right|+C}$ («высокий логарифм»)

${\displaystyle \int \!\ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln |\ln x|+C}$

${\displaystyle \int \!\log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C=x{\frac {\ln {x}-1}{\ln b}}+C}$

${\displaystyle \int \!e^{x}\,dx=e^{x}+C}$

${\displaystyle \int \!a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}$

${\displaystyle \int \!{dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C}$

${\displaystyle \int \!{-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C}$

${\displaystyle \int \!{dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\,\operatorname {arcsec} \,{|x| \over a}+C}$

${\displaystyle \int \!{dx \over {\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}}=\ln \left|{x+{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}}\right|+C}$ («длинный логарифм»)

${\displaystyle \int \!{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}\,dx={1 \over 2}({x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+{a}\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|)+C}$

${\displaystyle \int \!\sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}$

${\displaystyle \int \!\cos {x}\,dx=\sin {x}+C}$

${\displaystyle \int \!\operatorname {tg} \,{x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \!\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \!\sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \!\cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \!\sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \!\sin ^{n-2}{x}\,dx,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2}$

${\displaystyle \int \!\cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \!\cos ^{n-2}{x}\,dx,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2}$

${\displaystyle \int \!\operatorname {arctg} \,{x}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,{x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left(1+x^{2}\right)}+C}$