Фурье-оптика

Фурье-оптика получила своё название в честь французского математика Жана Батиста Жозефа Фурье, предложившего математический аппарат для описания распространения тепла в твёрдом теле (1807 г.). В дальнейшем математические гипотезы Фурье были уточнены Петером Густавом Лежёном Дирихле и Бернхардом Риманом^[2][3] и получили широкое распространение в радиотехнике, теории связи, спектроскопии, оптике, голографии (Фурье-голограммы), прикладной оптике и других областях физики и техники, в которых допустимо предположение о представлении формы волны как комбинации или суперпозиции плоских волн. Фурье-оптика используется также для анализа изображений и обработки сигналов. Основу математического описания Фурье-оптики представляют ряд Фурье и преобразования Фурье.

Преобразование Фурье функции ${\displaystyle f}$ вещественной переменной является интегральным и задаётся следующим образом:

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\omega }\,dx.}$ (1)

Общая формула всех вариантов определения преобразования Фурье с параметрами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ определяется как:

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1-a}}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ibx\omega }\,dx.}$ (2)

Обратное преобразование можно записать следующим образом:

${\displaystyle f(x)={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1+a}}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{ib\omega x}\,d\omega .}$ (3)

При выборе ${\displaystyle a=0}$ и ${\displaystyle b=2\pi }$ или ${\displaystyle b=-2\pi }$ формулы упрощаются, поскольку в них исчезают нормировочные множители, а формулы отличаются только знаком степени.

Рядом Фурье называют представление функции ${\displaystyle f}$ с периодом ${\displaystyle \tau }$ в виде ряда вида:

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{+\infty }A_{k}\cos \left(k{\frac {2\pi }{\tau }}x+\theta _{k}\right),}$ (4)

который можно записать в виде:

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ik{\frac {2\pi }{\tau }}x},}$, (5)

где ${\displaystyle A_{k}}$ — амплитуда ${\displaystyle k}$-го гармонического колебания, ${\displaystyle k{\frac {2\pi }{\tau }}=k\omega }$ — круговая частота гармонического колебания, ${\displaystyle \theta _{k}}$ — начальная фаза ${\displaystyle k}$-го колебания, ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ — ${\displaystyle k}$-я комплексная амплитуда.

В Фурье-оптике в зависимости от периодичности или непериодичности функции используют либо ряд Фурье, либо интеграл Фурье. Поскольку в реальных системах строго монохроматическое излучение получить невозможно, сложное немонохроматическое излучение можно аналитически представить в виде совокупности монохроматических волн (т. н. спектральное разложение, или спектральный анализ). Совокупность всех гармонических составляющих сложного сигнала называют частотным спектром излучения (частотным или непрерывным). Представление сложного немонохроматического излучения совокупностью монохроматических составляющих (волн) с точки зрения Фурье-оптики является разложением функции, в котором каждая составляющая представляет собой спектральную линию.

Считается, что комплексная амплитуда монохроматического возмущения, распространяющаяся в свободном пространстве, удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

${\displaystyle (\bigtriangledown ^{2}+k^{2}){\textbf {U}}=0,}$ (6)

где ${\displaystyle \bigtriangledown }$ — оператор Лапласа, определяемый как ${\displaystyle \bigtriangledown ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$, ${\displaystyle k=2\pi {\frac {\nu }{c}}={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ — волновое число, ${\displaystyle {\textbf {U}}}$ — комплексная функция возмущения.

Используя описанный выше математический аппарат, в Фурье-оптике легко аналитически представлять многие явления физической оптики, в частности, дифракцию Френеля и Фраунгофера (через приближения Френеля и Фраунгофера), для конкретных практических применений, например, на прямоугольном отверстии, круглом отверстии, и отверстиях других форм^[4].

Оптические элементы в Фурье-оптике рассматриваются как устройства, осуществляющие Фурье-преобразование^[5]. Для упрощения выражений используется параксиальное приближение, рассматривающее только часть волнового фронта вблизи направления распространения волны (в случае линзы — параксиальные лучи, распространяющиеся вблизи оптической оси линзы). В этом смысле линзу можно рассматривать как фильтр (низких частот).

В Фурье-оптике оптические системы представимы как «чёрные ящики», которые можно охарактеризовать с помощью передаточной функции и функции рассеяния^[6].

Подходы, сформулированные в Фурье-оптике, применимы для линейных оптических систем. Линейной называют такую оптическую систему, в которой реакция на сумму элементарных воздействий (входной сигнал) равна сумме реакций на каждое элементарное воздействие. Под элементарным воздействием в Фурье-оптике подразумевают световой сигнал. В этом смысле линейная оптическая система сходна с линейным четырёхполюсником в радиотехнике. Отличия Фурье-оптики от радиотехники в этом смысле состоит только в том, что в радиотехнике рассматриваются функции времени, а в Фурье-оптике — функции пространственной амплитуды. Математический аппарат для обоих случаев одинаков, например, линейную систему можно описать линейным оператором, а преобразование входного сигнала в выходной представить в виде:

${\displaystyle F(x,y)=L\{f(x,y)\},}$ (7)

где ${\displaystyle L}$ — линейный оператор.

Фурье-оптика используется и лежит в основе многих методов компьютерной оптики и компьютерной голографии.