Интегральные преобразования

Для существования преобразования Фурье функции ${\displaystyle f(t)}$ достаточно выполнения следующих трёх условий Дирихле^[5]:

1. ${\displaystyle f(t)}$ абсолютно интегрируема на всей оси ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$:

   ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,dt<\infty }$;

2. ${\displaystyle f(t)}$ ограничена при ${\displaystyle t\in (-\infty ,+\infty )}$;
3. число точек разрыва, максимума и минимума функции ${\displaystyle f(t)}$ конечно.

Это достаточные, но не необходимые условия. При их выполнении преобразование Фурье существует, а интеграл Фурье (обратная формула) сходится поточечно: в точках непрерывности — к значению ${\displaystyle f(t)}$, а в точках разрыва первого рода — к среднему арифметическому односторонних пределов:

${\displaystyle {\frac {f(t+0)+f(t-0)}{2}}.}$

Замечания:

• Современная постановка слабее: одного условия 1 (${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$) достаточно для существования преобразования Фурье как непрерывной функции, стремящейся к нулю на бесконечности. Требование ограниченности (условие 2) традиционно включается в инженерные изложения, но является избыточным — абсолютно интегрируемая функция может быть неограниченной в окрестности отдельных точек.
• В строгой формулировке теоремы Жордана—Дирихле условие 3 требуется не глобально, а на любом конечном интервале (равносильно локальной ограниченной вариации функции).

• ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ — пространство абсолютно интегрируемых функций. Для ${\displaystyle f\in L^{1}}$ преобразование Фурье существует и является непрерывной функцией, стремящейся к нулю на бесконечности (лемма Римана — Лебега).
• ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ — пространство функций с конечной энергией. Преобразование Фурье определяется как предел в смысле нормы ${\displaystyle L^{2}}$ (теорема Планшереля).
• Пространство Шварца ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ — пространство быстро убывающих гладких функций. На этом пространстве преобразование Фурье является взаимно однозначным и непрерывным отображением.
• Пространство обобщённых функций ${\displaystyle {\mathcal {S}}'}$ — позволяет работать с дельта-функцией и другими сингулярными объектами^[6].

Для преобразования Лапласа существует область сходимости (ROC — Region of Convergence) в комплексной плоскости:

${\displaystyle {\text{Re}}(u)>\sigma _{0}}$

где ${\displaystyle \sigma _{0}}$ — абсцисса абсолютной сходимости, определяемая как^[7]:

${\displaystyle \sigma _{0}=\inf \left\{\sigma :\int _{0}^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma t}\,dt<\infty \right\}}$

Если ${\displaystyle T[f]=F}$ и ${\displaystyle T[g]=G}$, то для любых констант ${\displaystyle a,b}$:

${\displaystyle T[af+bg]=aF+bG}$

Дифференцирование оригинала заменяется алгебраическими операциями над изображением^[9]:

• Для преобразования Фурье:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f^{(n)}(t)\}=(iu)^{n}{\mathcal {F}}\{f(t)\}}$

• Для преобразования Лапласа:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=uF(u)-f(0)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f''(t)\}=u^{2}F(u)-uf(0)-f'(0)}$

Это свойство позволяет сводить дифференциальные уравнения к алгебраическим.

• Для преобразования Лапласа:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}={\frac {F(u)}{u}}}$

• Сдвиг во времени (теорема запаздывания): для преобразования Лапласа

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t-a)\}=e^{-au}{\mathcal {L}}\{f(t)\},\qquad a>0}$

(для преобразования Фурье аналогичный множитель имеет вид ${\displaystyle e^{-iau}}$);

• Сдвиг в спектральной области:

${\displaystyle T\{e^{at}f(t)\}=F(u-a)}$

${\displaystyle T\{f(at)\}={\frac {1}{|a|}}F\left({\frac {u}{a}}\right)}$

(формула приведена для унитарной нормировки преобразования Фурье; для преобразования Лапласа при ${\displaystyle a>0}$: ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(at)\}={\frac {1}{a}}F\left({\frac {u}{a}}\right)}$).

Свёртка функций во временной области соответствует умножению их изображений:

${\displaystyle T\{f*g\}=T\{f\}\cdot T\{g\}}$

где свёртка определяется как:

${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$

Обратное также верно: умножение в оригинале соответствует свёртке изображений (с точностью до постоянного множителя, зависящего от нормировки).

Энергия сигнала сохраняется при преобразовании:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|F(u)|^{2}\,du}$

Это фундаментальное свойство показывает, что преобразование Фурье является унитарным оператором в ${\displaystyle L^{2}}$^[10].

Преобразование Лапласа можно рассматривать как обобщение преобразования Фурье:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}(u)={\sqrt {2\pi }}\,{\mathcal {F}}\{f(t)e^{-\sigma t}\}(\omega )}$

где ${\displaystyle u=\sigma +i\omega }$ (множитель ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$ возникает из-за унитарной нормировки ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$; при нормировке без множителя ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ сомножитель отсутствует). При ${\displaystyle \sigma =0}$ преобразование Лапласа переходит в преобразование Фурье.

Эти преобразования возникают как частные случаи преобразования Фурье для нечётных и чётных функций соответственно:

• Если ${\displaystyle f(t)}$ — чётная функция, то ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}}$ сводится к косинус-преобразованию.
• Если ${\displaystyle f(t)}$ — нечётная функция, то ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}}$ сводится к синус-преобразованию.

Преобразование Меллина связано с преобразованием Фурье через замену переменной ${\displaystyle t=e^{-x}}$:

${\displaystyle {\mathcal {M}}\{f(t)\}(s)={\sqrt {2\pi }}\,{\mathcal {F}}\{f(e^{-x})\}(-is)}$

(в записи без нормировочного множителя ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ сомножитель ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$ не нужен).

Преобразование Ханкеля порядка ${\displaystyle \nu }$ возникает при применении преобразования Фурье к радиально-симметричным функциям в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Для функции ${\displaystyle f(r)}$, зависящей только от радиуса:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(r)\}(\rho )=2\pi H_{0}\{f(r)\}(\rho )}$

(при нормировке преобразования Фурье без множителя ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$; в унитарной нормировке постоянный множитель иной).

Практическое применение интегральных преобразований требует численных методов вычисления^[12]:

• Квадратурные формулы — для прямого вычисления интегралов (метод Гаусса, метод трапеций, метод Симпсона).
• Быстрое преобразование Фурье (FFT) — алгоритм Кули — Тьюки позволяет вычислять DFT за ${\displaystyle O(N\log N)}$ операций вместо ${\displaystyle O(N^{2})}$^[13].
• Алгоритмы для преобразования Лапласа — метод деформации контура, метод перевала.

При переходе от непрерывных преобразований к дискретным возникают важные эффекты:

• Эффект наложения (алиасинг) — высокочастотные компоненты сигнала «маскируются» под низкие частоты при недостаточной частоте дискретизации.
• Теорема отсчётов (теорема Котельникова — Найквиста — Шеннона) — для точного восстановления сигнала частота дискретизации должна быть как минимум вдвое больше максимальной частоты в спектре сигнала^[14].
• Эффект утечки спектра — при ограничении сигнала во времени происходит «размазывание» спектра.

Для уменьшения эффектов краёв применяются оконные функции:

• Прямоугольное окно.
• Окно Хэмминга.
• Окно Ханна.
• Окно Блэкмана.

Интегральные преобразования — основной метод решения дифференциальных уравнений в частных производных^[15].

Пример: Уравнение теплопроводности Решим уравнение:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad u(x,0)=f(x)}$

Применим преобразование Фурье по переменной ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle {\frac {d{\hat {u}}}{dt}}=-\alpha k^{2}{\hat {u}}}$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение с решением:

${\displaystyle {\hat {u}}(k,t)={\hat {f}}(k)e^{-\alpha k^{2}t}}$

Обратное преобразование Фурье даёт:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi \alpha t}}}\int _{-\infty }^{\infty }f(\xi )e^{-(x-\xi )^{2}/(4\alpha t)}\,d\xi }$

Интегральные преобразования играют фундаментальную роль в теории вероятностей^[16][17].

Характеристическая функция случайной величины — это преобразование Фурье её функции распределения:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\mathbb {E} [e^{itX}]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,dF(x)}$

где ${\displaystyle F(x)}$ — функция распределения. Для абсолютно непрерывной случайной величины с плотностью ${\displaystyle f(x)}$:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f(x)\,dx}$

Свойства характеристических функций:

1. ${\displaystyle \varphi _{X}(0)=1}$.
2. ${\displaystyle |\varphi _{X}(t)|\leq 1}$ для всех ${\displaystyle t}$.
3. Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ независимы, то ${\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)}$.
4. Моменты случайной величины выражаются через производные:

   ${\displaystyle \mathbb {E} [X^{n}]={\frac {1}{i^{n}}}\varphi _{X}^{(n)}(0)}$.

Пример 1: Нормальное распределение Для ${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ с плотностью:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}}$

Характеристическая функция:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{i\mu t-\sigma ^{2}t^{2}/2}}$

Пример 2: Экспоненциальное распределение Для ${\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(\lambda )}$ с плотностью:

${\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\geq 0}$

Характеристическая функция:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)={\frac {\lambda }{\lambda -it}}}$

Пример 3: Равномерное распределение Для ${\displaystyle X\sim U(a,b)}$:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)={\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}}$

В теории вероятностей также используется преобразование Лапласа — Стилтьеса:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(s)=\mathbb {E} [e^{-sX}]=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}\,dF(x)}$

Для неотрицательных случайных величин это преобразование всегда существует при ${\displaystyle {\text{Re}}(s)\geq 0}$.

Пример: Сумма независимых экспоненциальных величин Пусть ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ — независимые случайные величины с распределением ${\displaystyle {\text{Exp}}(\lambda )}$. Тогда их сумма ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}$ имеет гамма-распределение:

${\displaystyle S_{n}\sim \Gamma (n,\lambda )}$

Это легко доказывается через преобразование Лапласа:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{S_{n}}(s)=\left({\frac {\lambda }{\lambda +s}}\right)^{n}}$

что совпадает с преобразованием Лапласа гамма-распределения.

Характеристические функции являются основным инструментом доказательства центральной предельной теоремы (ЦПТ). Теорема (Линдеберг — Леви): Пусть ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{i}]=\mu }$ и ${\displaystyle {\text{Var}}(X_{i})=\sigma ^{2}}$. Тогда:

${\displaystyle {\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}{\xrightarrow {d}}N(0,1)}$

где ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}$ и ${\displaystyle {\xrightarrow {d}}}$ обозначает сходимость по распределению.

Доказательство (схема):

1. Рассмотрим характеристическую функцию нормированной суммы.
2. Используем разложение в ряд Тейлора в окрестности нуля.
3. Покажем поточечную сходимость к ${\displaystyle e^{-t^{2}/2}}$ — характеристической функции стандартного нормального распределения.
4. Применим теорему непрерывности Леви.

Формула обращения: Если ${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$ — характеристическая функция случайной величины с функцией распределения ${\displaystyle F(x)}$, то в точках непрерывности:

${\displaystyle F(b)-F(a)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-T}^{T}{\frac {e^{-ita}-e^{-itb}}{it}}\varphi _{X}(t)\,dt}$

Пример: Вычисление плотности из характеристической функции Пусть дана характеристическая функция:

${\displaystyle \varphi (t)=e^{-|t|}}$

Это характеристическая функция распределения Коши с плотностью:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}}$

Что можно проверить обратным преобразованием Фурье.

Характеристические функции позволяют вычислять моменты и семиинварианты (кумулянты):

• Моменты:

${\displaystyle \mathbb {E} [X^{n}]={\frac {1}{i^{n}}}\left.{\frac {d^{n}\varphi _{X}(t)}{dt^{n}}}\right|_{t=0}}$

• Семиинварианты определяются через логарифм характеристической функции:

${\displaystyle \log \varphi _{X}(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}}$

где ${\displaystyle \kappa _{n}}$ — ${\displaystyle n}$-й семиинвариант.

Первые несколько семиинвариантов:

• ${\displaystyle \kappa _{1}=\mathbb {E} [X]}$ (среднее).
• ${\displaystyle \kappa _{2}={\text{Var}}(X)}$ (дисперсия).
• ${\displaystyle \kappa _{3}=\mathbb {E} [(X-\mu )^{3}]}$ (асимметрия).
• ${\displaystyle \kappa _{4}=\mathbb {E} [(X-\mu )^{4}]-3\sigma ^{4}}$ (эксцесс).

Пример 4: Семиинварианты нормального распределения Для ${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$:

${\displaystyle \log \varphi _{X}(t)=i\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}$

Следовательно, ${\displaystyle \kappa _{1}=\mu }$, ${\displaystyle \kappa _{2}=\sigma ^{2}}$, а все семиинварианты порядка ${\displaystyle n\geq 3}$ равны нулю. Это свойство характеризует нормальное распределение^[18].

Устойчивые распределения — это распределения, замкнутые относительно свёртки (с точностью до сдвига и масштабирования). Они характеризуются тем, что их характеристические функции имеют вид:

${\displaystyle \varphi (t)=\exp \left\{i\mu t-|ct|^{\alpha }(1-i\beta \,{\text{sign}}(t)\Phi (t,\alpha ))\right\}}$

где:

• ${\displaystyle 0<\alpha \leq 2}$ — параметр устойчивости.
• ${\displaystyle -1\leq \beta \leq 1}$ — параметр асимметрии.
• ${\displaystyle c>0}$ — параметр масштаба.
• ${\displaystyle \mu }$ — параметр сдвига.
• ${\displaystyle \Phi (t,\alpha )}$ — зависящая от параметризации функция; в распространённой записи ${\displaystyle \Phi (t,\alpha )=\operatorname {tg} {\frac {\pi \alpha }{2}}}$ при ${\displaystyle \alpha \neq 1}$, а при ${\displaystyle \alpha =1}$ в показатель добавляется логарифмический член, пропорциональный ${\displaystyle \beta t\ln |ct|}$^[19].

Частные случаи:

• ${\displaystyle \alpha =2}$: нормальное распределение.
• ${\displaystyle \alpha =1,\beta =0}$: распределение Коши.
• ${\displaystyle \alpha =1/2,\beta =1}$: распределение Леви.

Для дискретных случайных величин, принимающих неотрицательные целые значения, используется производящая функция:

${\displaystyle G_{X}(z)=\mathbb {E} [z^{X}]=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}P(X=k)}$

Эта функция связана с характеристической функцией соотношением:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=G_{X}(e^{it})}$

(не следует путать с производящей функцией моментов ${\displaystyle M_{X}(t)=\mathbb {E} [e^{tX}]}$, которая, как видно, является преобразованием Лапласа плотности, взятым при значении ${\displaystyle -t}$).

Пример 5: Пуассоновское распределение Для ${\displaystyle X\sim {\text{Poisson}}(\lambda )}$:

${\displaystyle G_{X}(z)=e^{\lambda (z-1)}}$

Моменты легко вычисляются через производные:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=G'_{X}(1)=\lambda }$

${\displaystyle \mathbb {E} [X(X-1)]=G''_{X}(1)=\lambda ^{2}}$

Преобразование Лапласа — Стилтьеса широко используется в теории массового обслуживания для анализа систем типа M/G/1, G/G/1 и более сложных сетей. Формула Поллачека — Хинчина связывает характеристическую функцию времени ожидания с характеристическими функциями времени обслуживания^[20].

• Преобразование Фурье лежит в основе форматов JPEG и MP3, а также алгоритмов распознавания речи^[21].
• Z-преобразование используется для проектирования цифровых фильтров.
• Дискретное косинус-преобразование (DCT) — основа стандартов сжатия изображений и видео.

• Преобразование Радона и преобразование Абеля являются математическим фундаментом компьютерной томографии^[22].
• Преобразование Фурье используется в магнитно-резонансной томографии (МРТ).

• Преобразование Лапласа используется для проектирования систем автопилота и промышленной робототехники через передаточные функции.
• Z-преобразование — основной инструмент анализа дискретных систем управления.

• Преобразование Ханкеля описывает распространение световых пучков в волоконных световодах.
• Преобразование Фурье лежит в основе фурье-оптики и дифракционной теории.

• Преобразование Гильберта применяется для создания однополосной модуляции (SSB) и выделения огибающей сигнала.

Рассмотрим функцию ${\displaystyle f(t)=e^{at}}$, где ${\displaystyle a}$ — константа.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{e^{at}\}=\int _{0}^{\infty }e^{at}e^{-ut}\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{(a-u)t}\,dt}$

При ${\displaystyle {\text{Re}}(u)>a}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{e^{at}\}=\left.{\frac {e^{(a-u)t}}{a-u}}\right|_{0}^{\infty }={\frac {1}{u-a}}}$

Для ${\displaystyle f(t)=e^{-at^{2}}}$, где ${\displaystyle a>0}$:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{e^{-at^{2}}\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-at^{2}}e^{-i\omega t}\,dt}$

Дополняя до полного квадрата и вычисляя гауссов интеграл:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{e^{-at^{2}}\}={\frac {1}{\sqrt {2a}}}e^{-\omega ^{2}/(4a)}}$

Это показывает, что преобразование Фурье гауссовой функции также является гауссовой функцией.

Решим уравнение:

${\displaystyle y''+3y'+2y=0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0}$

Применяем преобразование Лапласа:

${\displaystyle (s^{2}Y-sy(0)-y'(0))+3(sY-y(0))+2Y=0}$

Подставляем начальные условия:

${\displaystyle (s^{2}+3s+2)Y=s+3}$

${\displaystyle Y(s)={\frac {s+3}{(s+1)(s+2)}}={\frac {2}{s+1}}-{\frac {1}{s+2}}}$

Обратное преобразование:

${\displaystyle y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}}$