Фигурные числа

Многоугольные числа образуют последовательность, члены которой соответствуют числу точек, получаемых при определённом геометрическом построении; проиллюстрируем на примере семиугольника. Ряд семиугольных чисел начинается с 1 (базовая точка), затем следует 7, потому что 7 точек образуют правильный семиугольник, 6 точек добавились. Третья фигура содержит 18 точек, прибавка (Пифагор называл её «гномон») составила 11 точек. Прибавки образуют арифметическую прогрессию, в которой каждый член на 5 больше, чем предыдущий^[5].

Переходя к общему ${\displaystyle k}$-угольнику, можно заключить, что на каждом шаге число точек, соответствующее фигурному числу, увеличивается как сумма арифметической прогрессии^[5] с первым членом 1 и разностью ${\displaystyle k-2.}$

Общее определение k-угольного числа для любого ${\displaystyle k\geqslant 3}$ следует из представленного выше геометрического построения. Его можно сформулировать следующим образом^[6]:

Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда ${\displaystyle 1+2+3+4\dots }$, а четырёхугольным (квадратным) числам соответствует ряд ${\displaystyle 1+3+5+7\dots }$

Общую формулу для явного подсчёта ${\displaystyle n}$-го по порядку k-угольного числа ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ можно получить, представив его как сумму арифметической прогрессии^[7]:

${\textstyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}={\frac {(k-2)n^{2}-(k-4)n}{2}}={\frac {1}{2}}k(n^{2}-n)-n^{2}+2n}$.

(ОКФ)

Существует также рекуррентная формула для вычисления многоугольного числа^[7]:

${\displaystyle P_{n}^{(k)}={\begin{cases}1,&n=1\\P_{n-1}^{(k)}+(k-2)(n-1)+1,&n>1\end{cases}}}$.

При увеличении числа сторон ${\displaystyle k}$ на единицу соответствующие фигурные числа изменяются согласно формуле Никомаха^[8]:

${\displaystyle P_{n}^{(k+1)}=P_{n}^{(k)}+P_{n-1}^{(3)}}$, где ${\displaystyle n>1}$.

(Никомах)

Если ${\displaystyle k}$ — простое число, то второе ${\displaystyle k}$-угольное число, равное ${\displaystyle k}$, также простое; это единственная ситуация, когда многоугольное число является простым^[9].

Пифагорейцы придавали фигурным числам особое значение, поэтому их изучением занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский, Теон Смирнский и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение ${\displaystyle k}$-угольного числа ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ как суммы ${\displaystyle n}$ членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть ${\displaystyle 1}$, а разность равна ${\displaystyle k-2}$. Диофант написал большое исследование «О многоугольных числах» (III век н. э.), фрагменты которого дошли до наших дней^[10].

О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), которые установили ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Пачоли, Кардано и др.)^[11][4].

В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Валлис, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Их исследования привели к созданию теоремы Ферма о многоугольных числах.

Разновидности классических многоугольных чисел включают:

• треугольные числа;
• квадратные числа;
• пятиугольные числа;
• шестиугольные числа;
• семиугольные числа;
• восьмиугольные числа;
• двенадцатиугольные числа.

Общие формулы и начальные последовательности приведены в сводной таблице ниже.

Задача 1 (задача Диофанта): дано натуральное число ${\displaystyle N>2}$. Определить, является ли оно многоугольным числом ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ и если да, то для каких ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle n}$. Диофант сформулировал эту проблему так: «выяснить, сколько раз данное число встречается среди всевозможных многоугольных чисел»^[12].

Решение задачи сводится к решению «диофантова уравнения» (см. общую формулу):

${\displaystyle N=P_{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n^{2}-(k-4)n}{2}},}$ или: ${\displaystyle 2N-2n=(k-2)(n^{2}-n)}$.

Перепишем полученное уравнение в виде: ${\displaystyle k-2={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}}$.

Знаменатели дробей справа взаимно просты; сумма или разность таких дробей может быть целым числом, только если каждая дробь есть целое число, поэтому ${\displaystyle 2N-2}$ кратно ${\displaystyle n-1}$, а ${\displaystyle 2N}$ кратно ${\displaystyle n}$.

Алгоритм решения включает следующие шаги^[12]:

1. Выписать все натуральные делители числа ${\displaystyle 2N}$.
2. Выписать все натуральные делители числа ${\displaystyle 2N-2}$.
3. Отобрать из первого набора те числа, которые на ${\displaystyle 1}$ больше какого-либо числа из второго набора. Эти числа соответствуют ${\displaystyle n}$.
4. Для каждого отобранного ${\displaystyle n}$ подсчитать ${\textstyle k={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}+2}$.
5. Вычеркнуть пары ${\displaystyle (n,\;k)}$, в которых ${\displaystyle k<3}$.

Пример^[12]. Пусть ${\displaystyle N=105}$:

• делители ${\displaystyle 2N=210\colon \quad 1,\;2,\;3,\;5,\;6,\;7,\;10,\;14,\;15,\;21,\;30,\;35,\;42,\;70,\;105,\;210}$;
• делители ${\displaystyle 2N-2=208\colon \quad 1,\;2,\;4,\;8,\;13,\;16,\;26,\;52,\;104,\;208}$;
• отбор ${\displaystyle n=2,\;3,\;5,\;14,\;105}$;
• соответственно, ${\displaystyle k=105,\;36,\;12,\;14,\;2}$. Последнее значение следует отбросить.

Ответ: ${\displaystyle 105}$ может быть представлено как ${\displaystyle P_{2}^{(105)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14)}}$.

Степенной ряд, коэффициенты которого — ${\displaystyle k}$-угольные числа, сходится при ${\displaystyle |x|<1}$:

${\textstyle P_{1}^{(k)}x+P_{2}^{(k)}x^{2}+P_{3}^{(k)}x^{3}+\dots ={\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{3}}}}$.

Выражение справа является производящей функцией для последовательности ${\displaystyle k}$-угольных чисел^[13]. Например, при ${\displaystyle k=3}$: ${\textstyle \qquad {\frac {x}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(3)}x+P_{2}^{(3)}x^{2}+P_{3}^{(3)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(3)}x^{n}+\dots }$.

Существует бесконечное количество «многофигурных» чисел, то есть чисел, которые относятся одновременно к нескольким разновидностям фигурных чисел. Например, существуют треугольные числа, которые одновременно являются квадратными («квадратные треугольные числа»)^[14]:

${\displaystyle 1,\;36,\;1225,\;41616,\;1413721\dots }$ (A001110).

Треугольное число может также быть одновременно пятиугольным (A014979), шестиугольным (все треугольные числа с нечётным номером) или семиугольным (A046194). Квадратное число может быть одновременно пятиугольным (A036353), шестиугольным (A046177) или семиугольным (A036354). Пятиугольное число может быть шестиугольным (A046180) или семиугольным (A048900). Шестиугольное число обязательно является треугольным и может быть семиугольным (A048903). Число ${\displaystyle 105}$ входит в четыре разновидности: ${\displaystyle P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{2}^{(105)}.}$ Полный список таких сочетаний от треугольных до 16-угольных чисел — см. A062712^[15].

Полные данные для k от 3 до 30 и далее см. в OEIS.

Центрированные ${\displaystyle k}$-угольные числа (${\displaystyle k\geqslant 3}$) — класс фигурных чисел, получаемый следующим геометрическим построением. Сначала на плоскости фиксируется некоторая центральная точка. Затем вокруг неё строится правильный k-угольник с ${\displaystyle k}$ точками вершин, каждая сторона содержит две точки. Далее снаружи строятся новые слои ${\displaystyle k}$-угольников, причём каждая их сторона на новом слое содержит на одну точку больше, чем в предыдущем слое, то есть начиная со второго слоя каждый следующий слой содержит на ${\displaystyle k}$ больше точек, чем предыдущий. Общее число точек внутри каждого слоя и принимается в качестве центрированного многоугольного числа (точка в центре считается начальным слоем)^[16].

Общая формула для ${\displaystyle n}$-го центрированного ${\displaystyle k}$-угольного числа ${\displaystyle C_{n}^{(k)}}$^[17]:

${\textstyle C_{n}^{(k)}=1+k{\frac {n(n-1)}{2}}={\frac {kn^{2}-kn+2}{2}};\ n=1,\;2,\;3\dots }$

(ОЦФ)

Производящая функция для центрированных многоугольных чисел имеет вид^[18]:

${\textstyle f(x)={\frac {x(1+(k-2)x+x^{2})}{(1-x)^{3}}};\quad |x|<1}$.

Разновидности центрированных многоугольных чисел включают:

• центрированные треугольные числа;
• центрированные квадратные числа;
• центрированные пятиугольные числа;
• центрированные шестиугольные числа;
• центрированные семиугольные числа;
• центрированные восьмиугольные числа;
• центрированные девятиугольные числа;
• центрированные десятиугольные числа.

Некоторые центрированные многоугольные числа совпадают с классическими, например: ${\displaystyle 1,\;10,\;25,\;51}$. Для таких чисел имеет место тождество^[19]:

${\displaystyle C_{k}^{(k)}=P_{k+1}^{(k)}\quad }$.

Пирамидальные числа — пространственные фигурные числа, соответствующие пирамидам.

Существует трёхмерный аналог формулы Никомаха для пирамидальных чисел^[20]:

${\displaystyle \Pi _{n}^{(k+1)}=\Pi _{n}^{(k)}+\Pi _{n-1}^{(3)}}$.

Производящая функция пирамидальных чисел имеет вид^[21]:

${\displaystyle f(x)={\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{4}}};\quad |x|<1}$.

По аналогии с квадратными можно ввести «кубические числа» ${\displaystyle Q_{n}=n^{3},}$ а также числа, соответствующие другим правильным и неправильным многогранникам — например, платоновым телам:

• октаэдральное число;
• додекаэдральное число;
• икосаэдральное число.

Предусмотрены также их центрированные варианты.

Описанные выше трёхмерные конструкции можно обобщить на четыре и более измерений. Аналогом тетраэдральных чисел в ${\displaystyle d}$-мерном пространстве служат «симплексные числа», называемые также гипертетраэдральными^[22]:

${\displaystyle S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!}}}$.

Их частным случаем выступают:

• ${\displaystyle S_{n}^{[2]}}$ — треугольные числа;
• ${\displaystyle S_{n}^{[3]}}$ — тетраэдральные числа;
• ${\displaystyle S_{n}^{[4]}}$ — пентатопные числа.

Другие разновидности многомерных чисел — гиперкубические: ${\displaystyle Q_{n}^{[d]}=n^{d}}$. Четырёхмерные гиперкубические числа ${\displaystyle (d=4)}$ называются биквадратными^[22].

Некоторые фигурные числа могут принадлежать более чем одной разновидности плоских и/или многомерных чисел. Для многомерных чисел это довольно редкая ситуация^[23]:

• пять чисел ${\displaystyle 1,10,120,1540,7140}$ (и только они) одновременно треугольные и тетраэдральные (A027568);
• четыре числа ${\displaystyle 1,55,91,208335}$ одновременно треугольные и квадратные пирамидальные (A039596);
• три числа ${\displaystyle 1,4,19600}$ одновременно плоские квадратные и тетраэдральные (A003556);
• два числа ${\displaystyle 1,4900}$ одновременно квадратные плоские и квадратные пирамидальные. Это утверждение получило известность как «гипотеза Люка», или «задача о пушечных ядрах» (1875 год). Полное решение дал в 1918 году Джордж Невилл Ватсон^[24].

Никакое натуральное число, кроме 1, не может быть одновременно:

• треугольным и кубическим;
• треугольным и биквадратным^[25];
• треугольным и пятой степенью целого числа;
• центрированным шестиугольным и кубическим.

В 1988 году Ф. Бейкерс и Дж. Топ доказали, что никакое число, кроме 1, не может быть одновременно тетраэдральным и квадратным пирамидальным^[26]. Доказано также, что не существует чисел, которые одновременно:

• тетраэдральные и кубические;
• квадратные пирамидальные и кубические;
• тетраэдральные и биквадратные;
• квадратные пирамидальные и биквадратные.

Гипотеза Каталана утверждает, что среди гиперкубических чисел произвольных размерностей только одна пара отличается на 1: ${\displaystyle 3^{2}=2^{3}+1}$ (доказано в 2002 году)^[28].

Всякое чётное совершенное число является треугольным^[29] (и одновременно шестиугольным, причём номер шестиугольного числа есть степень двойки).

Гипотеза Лежандра (1808 год): между последовательными квадратными числами всегда найдётся простое число. Не доказана.

Сумма первых ${\displaystyle n}$ центрированных треугольных чисел ${\displaystyle (n>2)}$ есть «магическая константа» для магического квадрата размерности ${\displaystyle n\times n}$^[30].

Число Мерсенна, большее 1, не может быть квадратным, кубическим или иным гиперкубическим, но может быть треугольным. Треугольных чисел Мерсенна всего четыре: ${\displaystyle 1,3,15,4095}$, их поиск эквивалентен решению в натуральных числах уравнения Рамануджана — Нагеля: ${\displaystyle 2^{n}-7=x^{2}}$ (A060728)^[31].

Число Ферма также не может быть квадратным, кубическим или иным гиперкубическим, но в единственном случае может быть треугольным: ${\displaystyle F_{0}=3}$^[31].

Среди чисел Фибоначчи имеются только три квадратных числа (0, 1 и 144) и четыре треугольных (1, 3, 21, 55, A039595). Среди чисел Люка квадратных чисел два (1 и 4), а треугольных три (1, 3, 5778)^[32].

Числа Каталана ${\displaystyle Cat_{n}}$ выражаются через гипертетраэдральные числа следующим образом^[33]:

${\displaystyle Cat_{n}=S_{n+1}^{[n]}-S_{n+2}^{[n-1]}}$.

Всякое ${\displaystyle n}$-мерное гиперкубическое число разлагается по числам Стирлинга второго рода ${\displaystyle S(n,m)}$^[33]:

${\displaystyle Q_{n}^{[d]}=\sum _{m=0}^{d}{S(d,m)n(n-1)\dots (n-m+1)}}$.