Теорема Ферма о многоугольных числах

Примеры разбиения натуральных чисел от 1 до 30 в соответствии с теоремой Ферма^[1]:

Число	Сумма не более трёх треугольных чисел	Сумма не более четырёх квадратных чисел	Сумма не более пяти пятиугольных чисел
1	1	${\displaystyle 1}$	1
2	1 + 1	1 + 1	1 + 1
3	3	1 + 1 + 1	1 + 1 + 1
4	3 + 1	${\displaystyle 2^{2}}$	1 + 1 + 1 + 1
5	3 + 1 + 1	${\displaystyle 2^{2}+1}$	5
6	6	${\displaystyle 2^{2}+1+1}$	5 + 1
7	6 + 1	${\displaystyle 2^{2}+1+1+1}$	5 + 1 + 1
8	6 + 1 + 1	${\displaystyle 2^{2}+2^{2}}$	5 + 1 + 1 + 1
9	6 + 3	${\displaystyle 3^{2}}$	5 + 1 + 1 + 1 + 1
10	10	${\displaystyle 3^{2}+1}$	5 + 5
11	10 + 1	${\displaystyle 3^{2}+1+1}$	5 + 5 + 1
12	6 + 6	${\displaystyle 2^{2}+2^{2}+2^{2}}$	12
13	10 + 3	${\displaystyle 3^{2}+2^{2}}$	12 + 1
14	10 + 3 + 1	${\displaystyle 3^{2}+2^{2}+1}$	12 + 1 + 1
15	15	${\displaystyle 3^{2}+2^{2}+1+1}$	5 + 5 + 5
16	15 + 1	${\displaystyle 4^{2}}$	5 + 5 + 5 + 1
17	10 + 6 + 1	${\displaystyle 4^{2}+1}$	12 + 5
18	15 + 3	${\displaystyle 3^{2}+3^{2}}$	12 + 5 + 1
19	10 + 6 + 3	${\displaystyle 3^{2}+3^{2}+1}$	12 + 5 + 1 + 1
20	10 + 10	${\displaystyle 4^{2}+2^{2}}$	5 + 5 + 5 + 5
21	21	${\displaystyle 4^{2}+2^{2}+1}$	5 + 5 + 5 + 5 + 1
22	21 + 1	${\displaystyle 3^{2}+3^{2}+2^{2}}$	22
23	10 + 10 + 3	${\displaystyle 3^{2}+3^{2}+2^{2}+1}$	22 + 1
24	21 + 3	${\displaystyle 4^{2}+2^{2}+2^{2}}$	12 + 12
25	15 + 10	${\displaystyle 5^{2}}$	12 + 12 + 1
26	15 + 10 + 1	${\displaystyle 5^{2}+1}$	12 + 12 + 1 + 1
27	21 + 6	${\displaystyle 5^{2}+1+1}$	22 + 5
28	28	${\displaystyle 5^{2}+1+1+1}$	22 + 5 + 1
29	28 + 1	${\displaystyle 5^{2}+2^{2}}$	12 + 12 + 5
30	15 + 15	${\displaystyle 5^{2}+2^{2}+1}$	12 + 12 + 5 + 1

Теорема названа именем Пьера Ферма, который выдвинул это утверждение в 1638 году без доказательства, но обещал представить его в отдельной статье, которая так никогда и не появилась^[2]. В 1770 году Лагранж доказал эту теорему для квадратных чисел^[2]. Гаусс доказал теорему для треугольных чисел в 1796 году. Молодой Гаусс сопроводил свою находку записью в дневнике: «Эврика!»^[3] и опубликовал доказательство в книге Арифметические исследования. Этот результат Гаусса известен как «теорема эврика»^[4] Полностью теорему доказал Коши в 1813 году.^[2] .Последующие доказательства основаны на доказанных Коши леммах^[5].

Наиболее интересны квадратный ${\displaystyle m=n^{2}}$ и треугольный ${\displaystyle m={\frac {n(n+1)}{2}}}$ случаи. Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов вместе с теоремой Лежандра о трёх квадратах решают проблему Варинга для ${\displaystyle n=2}$. А в случае треугольных чисел замена квадрата на квадратный многочлен позволяет уменьшить необходимое число слагаемых.