Степень простого числа

Числа 5 = 5¹, 9 = 3² и 16 = 2⁴ являются степенями простых чисел, в то время как 6 = 2 × 3, 15 = 3 × 5 и 36 = 6² = 2² × 3² не являются.

Двадцать наименьших степеней простых чисел^[1]:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, …

• Каждая степень простого числа делится только на одно простое число.
• Плотность распределения степеней простых чисел асимптотически эквивалентна ${\displaystyle \pi (x)}$ — плотности простых чисел с точностью до ${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$.
• Любая степень простого числа (за исключением степени 2) имеет первообразный корень. Так, мультипликативная группа целых чисел по модулю pⁿ (или, что эквивалентно, группа единиц кольца Z/pⁿZ) является циклической.
• Число элементов конечного поля всегда является степенью простого числа и обратно, любая степень простого является числом элементов некоторого конечного поля (единственного с точностью до изоморфизма).

Свойство степеней простого числа, часто используемое в аналитической теории чисел, — что множество степеней простых чисел, не являющихся простыми, является маленьким в том смысле, что бесконечная сумма обратных им величин сходится, хотя множество простых чисел является большим множеством.

Функция Эйлера (φ) и сигма функции (σ₀) и (σ₁) от степени простого числа можно вычислить по формулам:

${\displaystyle \phi (p^{n})=p^{n-1}\phi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0*j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,}$

${\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1*j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.}$

Все степени простых чисел являются недостаточными числами. Степень простого pⁿ является n-почти простыми. Неизвестно, могут ли степени простых чисел pⁿ быть дружественными числами. Если такие числа существуют, то pⁿ должно быть больше 10¹⁵⁰⁰ и n должен быть больше 1400.

${\displaystyle \forall a\in \mathbb {N} :\gcd(a,N)=1\Rightarrow \gcd(a^{N-1}-1,N)>1}$

Пусть число ${\displaystyle N}$ является степенью простого числа ${\displaystyle N=p^{k}}$. Тогда ${\displaystyle N-1}$ делится на ${\displaystyle p-1}$.

По малой теореме Ферма ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {N} :p}$ не делит ${\displaystyle a\Rightarrow a^{p-1}\equiv 1(mod~p)}$

${\displaystyle a^{N-1}\equiv a^{p-1}\equiv 1(mod~p)\Rightarrow \gcd(a^{N-1}-1,N)=p^{m}>1,}$ где ${\displaystyle 1\leqslant m\leqslant k}$