Гипотеза Лежандра

Из теоремы о распределении простых чисел следует, что число простых чисел между ${\displaystyle n^{2}}$ и ${\displaystyle (n+1)^{2}}$^[2] асимптотически стремится к ${\displaystyle n/\ln n}$. Поскольку это число растёт при росте ${\displaystyle n}$, это даёт основания для гипотезы Лежандра.

Если гипотеза верна, интервал между любым простым ${\displaystyle p}$ и следующим простым всегда должен быть порядка ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$^[3], а в ${\displaystyle O}$-нотации интервал равен ${\displaystyle O({\sqrt {p}})}$. Две более сильные гипотезы — гипотеза Андрицы и гипотеза Оппермана — предполагают то же самое поведение интервалов. Гипотеза не даёт решение гипотезы Римана, но усиливает одно из следствий в случае верности гипотезы.

Если верна гипотеза Крамера (о том, что промежутки имеют порядок ${\displaystyle (\log p)^{2}}$), то гипотеза Лежандра будет следовать из неё для достаточно больших ${\displaystyle n}$. Крамер также показал, что из гипотезы Римана вытекает более слабая граница ${\displaystyle O({\sqrt {p}}\log p)}$ размера наибольшего интервала между простыми числами^[4].

Контрпример в районе 10¹⁸ должен был бы иметь интервал в 50 миллионов раз больше среднего интервала.

Из гипотезы Лежандра следует, что по меньшей мере одно простое может быть найдено в каждой половинке оборота спирали Улама.

В начале 2000-х годов установлено, что существует простое число в интервале ${\displaystyle [x,\,x+O(x^{21/40})]}$ для всех больших ${\displaystyle x}$^[5].

Таблица максимальных интервалов простых чисел показывает^[6], что гипотеза выполняется до ${\displaystyle n^{2}=4\cdot 10^{18}}$.

Было доказано, что для бесконечного количества чисел ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ выполняется

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {1}{2}}\left({\frac {(n+1)^{2}}{\log(n+1)}}-{\frac {n^{2}}{\log n}}\right)-{\frac {(\log n)^{2}}{\log \log n}}\right\rfloor \leq \pi \left((n+1)^{2}\right)-\pi \left(n^{2}\right),}$

где ${\displaystyle \pi }$ — функция распределения простых чисел^[7].