Числовая последовательность

Элементом, или членом числовой последовательности ${\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow X}$, где ${\displaystyle \mathbb {N} }$ — множество натуральных чисел, а ${\displaystyle X}$ — заданное числовое множество, называется упорядоченная пара ${\displaystyle (n,x)}$, ${\displaystyle x=f(n)}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle x\in X}$, которая обозначается ${\displaystyle x_{n}}$. Натуральное число ${\displaystyle n}$ называется номером элемента последовательности ${\displaystyle x_{n}}$, а элемент ${\displaystyle x\in X}$ — его значением. Если ${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$, то член ${\displaystyle x_{n_{1}}}$заданной последовательности называется предшествующим члену ${\displaystyle x_{n_{2}}}$, а член ${\displaystyle x_{n_{2}}}$ — следующим за членом ${\displaystyle x_{n_{1}}}$. Таким образом, множество элементов последовательности упорядочено^[1].

Запись отображения ${\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Q} }$ обозначает последовательность рациональных чисел. Здесь ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — множество рациональных чисел взято в качестве примера. Часто числовые последовательности записывают в фигурных скобках ${\displaystyle \{a_{n}\}}$, в круглых скобках ${\displaystyle (a_{n})}$ или без скобок ${\displaystyle a_{n}}$^[2].

Для задания бесконечной последовательности ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ необходимо указать правило, по которому любому натуральному числу ${\displaystyle n}$ можно поставить в соответствие число ${\displaystyle a_{n}}$. Это можно сделать одним из следующих способов:

• С помощью формулы общего члена последовательности ${\displaystyle a_{n}=f(n)}$, где ${\displaystyle f(n)}$ — некоторое выражение, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Например, последовательность чётных натуральных чисел задаётся формулой ${\displaystyle a_{n}=2n}$.
• Табличным способом, когда последовательность записывается в виде таблицы:

${\displaystyle n}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 7}$
${\displaystyle x}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 14}$

• Графическим способом, изображая в виде графика, состоящего из точек, имеющих координату ${\displaystyle x=n}$, или изображая её члены на числовой оси точками.
• Рекуррентно, то есть с помощью формулы, выражающей ${\displaystyle n}$-й член последовательности через один или несколько предыдущих членов.

Например:

 1. Последовательность чисел Фибоначчи:
   ${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}=0,\\a_{2}=1,\\a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},\quad n\geq 3\end{cases}}}$
 Здесь каждый следующий член равен сумме двух предыдущих: ${\displaystyle 0,1,1,2,3,5,8,13,\dots }$

2. Арифметическая прогрессия: ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}$.

3. Геометрическая прогрессия: ${\displaystyle b_{n+1}=b_{n}q}$.

• Словесно — описав словами способ получения её членов. Например: «последовательность натуральных чисел, кратных ${\displaystyle 3}$»^[3].

Последовательность ${\displaystyle \{a_{n}\}}$, называется возрастающей (соответственно убывающей), если для для любого номера ${\displaystyle n}$ выполняется неравенство:

${\displaystyle a_{n+1}>a_{n}}$ (соответственно ${\displaystyle a_{n+1}<a_{n}}$).

Последовательность ${\displaystyle \{a_{n}\}}$, называется неубывающей (соответственно невозрастающей), если для любого номера ${\displaystyle n}$ выполняется неравенство:

${\displaystyle a_{n+1}\geqslant a_{n}}$ (соответственно ${\displaystyle a_{n+1}\leqslant a_{n}}$).

Возрастающие/убывающие и невозрастающие/неубывающие последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Последовательность ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ называется ограниченной сверху (соответственно снизу), если существует такое число ${\displaystyle M}$ (соответственно ${\displaystyle m}$), что для любого номера ${\displaystyle n}$ выполняется неравенство:

${\displaystyle a_{n}\leq M}$ (соответственно ${\displaystyle a_{n}\geq m}$).

Последовательность ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу^[4].

На множестве всех последовательностей элементов множества ${\displaystyle X}$ можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве ${\displaystyle X}$. Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.

Суммой двух последовательностей ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{y_{n}\}}$ называется числовая последовательность ${\displaystyle \{z_{n}\}}$, членами которой являются суммы членов ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{y_{n}\}}$ с одинаковыми номерами: ${\displaystyle z_{n}=x_{n}+y_{n}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$). Аналогично определяются разность, произведение и частное последовательностей ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{y_{n}\}}$:

Разность ${\displaystyle \{x_{n}\}-\{y_{n}\}=\{x_{n}-y_{n}\}}$. 

Произведение ${\displaystyle (x_{n})\cdot (y_{n})=(x_{n}\cdot y_{n})}$.

${\displaystyle {\frac {\{x_{n}\}}{\{y_{n}\}}}\ =\left\{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right\}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$). Частное определено, если все члены ${\displaystyle (y_{n})}$ не равны нулю[5].

Предельная точка числовой последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности^[6].

${\displaystyle x}$ — предельная точка последовательности ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists X\subseteq \mathbb {N} \colon \left|X\right|=\aleph _{0}\land \forall i\in X\colon \left|x_{i}-x\right|<\varepsilon }$

Наибольшая предельная точка последовательности называется её верхним пределом, а наименьшая предельная точка — нижним пределом. Иногда во множество возможных предельных точек включают «${\displaystyle -\infty }$» и «${\displaystyle +\infty }$».

Число ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ называется пределом числовой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, если последовательность ${\displaystyle \{x_{n}-a\}}$ является бесконечно малой, то есть все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a~\Leftrightarrow ~\forall \varepsilon >0~\exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} \colon ~n\geqslant N~\Rightarrow |x_{n}-a|<\varepsilon }$ (для всякого малого эпсилон найдётся номер, начиная с которого элементы последовательности будут отличаться от предела меньше чем на эпсилон).

Если число ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ является пределом числовой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, то её называют сходящейся к ${\displaystyle a}$.

Если никакое вещественное число не является пределом последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, её называют расходящейся.

Для некоторых последовательностей предел полагают равным бесконечности.

А именно, говорят, что последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ стремится к бесконечности, если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ~\Leftrightarrow ~\forall E>0~\exists N(E)\in \mathbb {N} \colon ~\forall n\geqslant N\Rightarrow |x_{n}|>E}$.

Кроме того, если все элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=+\infty ~\Leftrightarrow ~\forall E>0~\exists N(E)\in \mathbb {N} \colon ~\forall n\geqslant N\Rightarrow x_{n}>E}$.

Если же элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty ~\Leftrightarrow ~\forall E>0~\exists N(E)\in \mathbb {N} \colon ~\forall n\geqslant N\Rightarrow x_{n}<-E}$.

Любая последовательность, стремящаяся к бесконечности — неограниченная. Однако обратное неверно^[6].

Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.

${\displaystyle (x_{n})}$ стационарная ${\displaystyle \Leftrightarrow \left(\exists N\in \mathbb {N} ~\forall i,j\in \mathbb {N} \colon \left(i\geqslant N\right)\land \left(j\geqslant N\right)\Rightarrow \left(x_{i}=x_{j}\right)\right)}$.

Особую роль в теории числовых последовательностей играют бесконечно малые последовательности, то есть последовательности, сходящиеся к нулю. Общее понятие предела числовой последовательности сводится к понятию бесконечно малой в том смысле, что числовая последовательность сходится к некоторому числу в том и только в том случае, когда разность между членами последовательности и этим числом является бесконечно малой последовательностью.

Бесконечно большие последовательности — это последовательности, имеющие своим пределом либо одну из бесконечностей со знаком ${\displaystyle -\infty }$ или ${\displaystyle +\infty }$, либо бесконечность без знака^[7].