Число Вудала

В теории чисел число Вудала (W_n) — любое натуральное число вида

${\displaystyle W_{n}=n\cdot 2^{n}-1}$

для некоторого натурального n. Несколько первых чисел Вудала:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, … последовательность A003261 в OEIS.

Числа Вудала были впервые изучены Алланом Дж. Каннингемом и Г. Дж. Вудалом в 1917, воодушевлённые более ранними исследованиями Джеймса Каллена подобным образом определённых чисел Каллена. Числа Вудала странным образом проявились в теореме Гудстейна.

Числа Вудала, являющиеся простыми числами, называются простыми числами Вудала. Несколько первых экспонент n, для которых соответствующие числа Вудала W_n простые:

2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, … последовательность A002234 в OEIS.

Сами же простые числа Вудала образуют последовательность:

7, 23, 383, 32212254719, … последовательность A050918 в OEIS.

В 1976 году Христофер Хулей показал, что почти все числа Каллена составные. Доказательство Кристофера Хулей было переработано математиком Хирми Суяма чтобы показать, что оно верно для любой последовательности чисел ${\displaystyle n\cdot 2^{n+a}+b}$, где a и b целые числа, и частично также для чисел Вудала. Предполагают, что существует бесконечно много простых чисел Вудала. По состоянию на октябрь 2018 года наибольшее известное простое число Вудала — ${\displaystyle 17016602\cdot 2^{17016602}-1}$.^[1] Оно имеет 5122515 цифр и было найдено Диего Бертолотти (Diego Bertolotti) в 2018 в проекте распределённых вычислений PrimeGrid^[2].

Подобно числам Каллена, числа Вудала имеют много свойств делимости. Например, если p простое число, то p делит

${\displaystyle W_{(p+1)/2}}$, если символ Якоби ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ равен +1 и

${\displaystyle W_{(3p-1)/2}}$, если символ Якоби ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ равен −1.

Обобщённое число Вудала определяется как число вида ${\displaystyle n\cdot b^{n}-1}$, где n + 2 > b. Если простое число можно записать в таком виде, его называют обобщённым простым числом Вудала.