Псевдопростое число Люка

Рассмотрим последовательности Люка U_n(P,Q) и V_n(P,Q), где целые числа P и Q удовлетворяют условию:

${\displaystyle D=P^{2}-4Q\neq 0.}$

Тогда, если p — простое число, большее 2, то

${\displaystyle V_{p}\equiv P{\pmod {p}}}$

и, если символ Якоби

${\displaystyle \left({\frac {D}{p}}\right)=\varepsilon \neq 0,}$

то p делит U_p-ε.

Псевдопростое Люка^[1] — это составное число n, которое делит U_n-ε. (Ризель (англ. Riesel) добавляет условие: символ Якоби ${\displaystyle \left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1}$.)

В частном случае последовательности Фибоначчи, когда P = 1, Q = −1 и D = 5, первые псевдопростые числа Люка — это 323 и 377; ${\displaystyle \left({\tfrac {5}{323}}\right)}$ и ${\displaystyle \left({\tfrac {5}{377}}\right)}$ оба равны −1, 324-ое число Фибоначчи делится на 323, а 378-ое — делится на 377.

Сильным псевдопростым Люка называется нечётное составное число n с (n,D)=1, и n-ε=2^rs с s нечётным, удовлетворяющее одному из условий:

n делит U_s

n делит V_2^js

для некоторого j < r. Сильное псевдопростое Люка является также псевдопростым Люка.

Сверхсильным псевдопростым Люка называется сильное псевдопростое Люка для множества параметров (P,Q), где Q = 1, удовлетворяющее одному из слегка модифицированных условий:

n делит U_s и V_s, сравнимо с ±2 по модулю n

n делит V_2^js

для некоторого j < r. Сверхсильное псевдопростое Люка является также сильным псевдопростым Люка.

Комбинируя тест на псевдопростоту Люка с тестом простоты Ферма, скажем, по модулю 2, можно получить очень сильные вероятностные тесты простоты.

Псевдопростое Фибоначчи — это составное число, n для которого

V_n сравним с P по модулю n,

где Q = ±1.

Сильное псевдопростое Фибоначчи может быть определено как составное число, являющееся псевдопростым числом Фибоначчи для любого P. Из определения следует (см. Мюллер (Müller) и Освальд (Oswald)), что :

1. Нечётное составное целое n, являющееся также числом Кармайкла
2. 2(p_i + 1) | (n − 1) или 2(p_i + 1) | (n − p_i) для любого простого p_i, делящего n.

Наименьшее сильное псевдопростое число Фибоначчи — это 443372888629441, имеющее делители 17, 31, 41, 43, 89, 97, 167 и 331.

Было высказано предположение, что не существует чётных псевдопростых чисел Фибоначчи^[2]