Числа Сабита

• Двоичное представление числа Сабита ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$ имеет длину ${\displaystyle n+2.}$
• Некоторые числа Сабита являются простыми:

${\displaystyle 2\;,\;5\;,\;11\;,\;23\;,\;47\;,\;191\;,\;383\;,\;6143\;,\;786431\;,\;51539607551\;,\;824633720831\;,\;\ldots }$

(последовательность A007505 в OEIS.)

• По состоянию на апрель 2008 года известны следующие значения ${\displaystyle n,}$ дающие простые числа:

${\displaystyle 0\;,\;1\;,\;2\;,\;3\;,\;4\;,\;6\;,\;7\;,\;11\;,\;18\;,\;34\;,\;38\;,\;43\;,\;47\;,\;55\;,\;64\;,\;76\;,}$

${\displaystyle 94\;,\;103\;,\;143\;,\;206\;,\;216\;,\;306\;,\;324\;,\;391\;,\;458\;,\;470\;,\;827\;,\;1274\;,\;3276\;,\;4204\;,\;5134\;,}$

${\displaystyle 7559\;,\;12676\;,\;14898\;,\;18123\;,\;18819\;,\;25690\;,\;26459\;,\;41628\;,\;51387\;,\;71783\;,\;80330\;,\;85687\;,\;88171\;,\;97063\;,}$

${\displaystyle 123630\;,155930\;,\;164987\;,\;234760\;,\;414840\;,\;584995\;,\;702038\;,\;727699\;,\;992700\;,\;1201046\;,\;1232255\;,\;2312734\;,\;3136255\;,\;\ldots }$

(последовательность A002235 в OEIS.)

• Простые числа Сабита для ${\displaystyle n>164987}$ были найдены в ходе распределённых вычислений «321 search».^[4] Наибольшее из известных простых чисел Сабита (${\displaystyle 3\cdot 2^{4235414}-1}$) длиной в 1274988 знаков и было найдено Dylan Bennett в апреле 2008 года. Прошлым рекордом было число ${\displaystyle 3\cdot 2^{3136255}-1}$ найденное Paul Underwood в марте 2007 года.

Если и ${\displaystyle n,}$ и ${\displaystyle n-1}$ являются числами Сабита, и если ${\displaystyle 9\cdot 2^{2n-1}-1}$ — простое, то пара дружественных чисел может быть найдена как

${\displaystyle 2^{n}(3\cdot 2^{n-1}-1)(3\cdot 2^{n}-1)}$ и ${\displaystyle 2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1).}$

• Числа, записываемые формулой ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}+1}$ называются числами Сабита второго рода.

• Первые числа Сабита второго рода:

  ${\displaystyle 4,7,13,25,49,97,193,385,769,1537,3073,6145,12289,24577,49153,98305,196609,393217,786433,1572865,...}$

• Первые простые числа Сабита второго рода (последовательность A039687 в OEIS):

  ${\displaystyle 7,13,97,193,769,12289,786433,3221225473,206158430209,6597069766657,221360928884514619393,...}$

• Первые значения ${\displaystyle n}$, при которых ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}+1}$ простые:

  ${\displaystyle 1,2,5,6,8,12,18,30,36,41,66,189,201,209,276,353,408,438,534,2208,2816,3168,3189,3912,...}$ (последовательность A2253 в OEIS).