Последовательность

Примеры числовой последовательности:

• Примером конечной последовательности может служить последовательность домов на улице.
• Многочлен от одной переменной ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}}$ можно рассматривать как конечную последовательность его коэффициентов, или бесконечную — в предположении ${\displaystyle a_{i}=0}$ при ${\displaystyle i>n}$.
• Последовательность простых чисел является одной из наиболее известных нетривиальных бесконечных числовых последовательностей.
• Каждому действительному числу может быть сопоставлена собственная последовательность, называемая цепной дробью — причём для рациональных чисел она всегда конечна, для алгебраических иррациональных чисел бесконечна (для квадратичных иррациональностей — периодична), а для трансцендентных чисел бесконечна и не периодична, хотя отдельные числа и могут встречаться в ней бесконечное число раз. Например, цепная дробь для числа ${\displaystyle {\frac {13}{9}}}$ конечна и равна ${\displaystyle [1;2,4]}$, а цепная дробь числа ${\displaystyle \pi }$ уже бесконечна, не периодична и выглядит следующим образом: ${\displaystyle [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,\dots ]}$.
• В геометрии часто рассматривается последовательность правильных многоугольников, форма которых зависит только от количества вершин.
• Последовательность может состоять даже из множеств — к примеру, можно составить последовательность, в которой на ${\displaystyle n}$-ой позиции находится множество всех многочленов степени ${\displaystyle n}$ с целыми коэффициентами от одной переменной.

Пусть задано некоторое множество ${\displaystyle X}$ элементов произвольной природы.

Всякое отображение ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to X}$ множества натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ в заданное множество ${\displaystyle X}$ называется последовательностью^[1] (элементов множества ${\displaystyle X}$).

Последовательности вида

${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots }$

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

${\displaystyle (x_{n})}$ или ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$.

Иногда используются фигурные скобки:

${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$.

Конечные последовательности могут записываться в следующем виде:

${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{N}}$.

Также последовательность может быть записана как

${\displaystyle (f(n))}$,

если функция ${\displaystyle f}$ была определена ранее, или же её обозначение может быть заменено на саму функцию. Например, при ${\displaystyle f(n)=n^{3}}$ последовательность можно записать в виде ${\displaystyle (n^{3})}$.

• Образ натурального числа ${\displaystyle n}$, а именно элемент ${\displaystyle x_{n}=f(n)}$, называется ${\displaystyle n}$-ым членом последовательности, а порядковый номер ${\displaystyle n}$ члена последовательности ${\displaystyle x_{n}}$ — его индексом.
• Подмножество ${\displaystyle f\left[\mathbb {N} \right]}$ множества ${\displaystyle X}$, которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности: пока индекс пробегает множество натуральных чисел, точка, «изображающая» члены последовательности, «перемещается» по носителю.
• Подпоследовательностью последовательности ${\displaystyle (x_{n})}$ называется зависящая от ${\displaystyle k}$ последовательность ${\displaystyle (x_{n_{k}})}$, где ${\displaystyle (n_{k})}$ — возрастающая последовательность натуральных чисел. Подпоследовательность можно получить из изначальной последовательности, выкинув из неё некоторые члены.

• Любое отображение множества ${\displaystyle \mathbb {N} }$ в себя также является последовательностью.
• Последовательность элементов множества ${\displaystyle X}$ может быть рассмотрена, как упорядоченное подмножество ${\displaystyle X}$, изоморфное множеству натуральных чисел.

1. Аналитический, где формула определяет последовательность n-го члена, например: ${\displaystyle a_{n}={\frac {n}{n+1}}}$
2. Рекуррентный, Например, числа Фибоначчи, где любой член последовательности выражается через предшествующие: ${\displaystyle a_{1}=0,a_{2}=1,a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1}}$
3. Словесный; Например, для любой бесконечной десятичной дроби можно построить последовательность её десятичных приближений по недостатку или избытку, округляя в каждой итерации дробь в меньшую или большую сторону.

«Алгоритм — это строгая и логичная последовательность действий для решения какой-либо задачи (математической, информационной и т. п.).»^[2][3]

В математике рассматривают различные типы последовательностей:

• числовые последовательности;
• последовательности элементов метрического пространства;
• временны́е ряды как числовой, так и не числовой природы;
• последовательности элементов функционального пространства;
• последовательности состояний систем управления и автоматов.

Практически важные задачи, возникающие при изучении последовательностей:

• Выяснение вопроса, конечна данная последовательность или бесконечна. Например, на 2020 год известно 51 простое число Мерсенна, но не доказано, что больше таких чисел нет.
• Поиск закономерностей среди членов последовательности.
• Поиск аналитической формулы, которая может служить хорошим приближением для ${\displaystyle n}$-го члена последовательности. Например, для ${\displaystyle n}$-го простого числа неплохое приближение даёт формула: ${\displaystyle n\ln(n)}$ (существуют и более точные).
• Прогноз будущих состояний, в первую очередь выяснение вопроса, сходится ли данная последовательность к конечному или бесконечному пределу ${\displaystyle (}$числовому или не числовому, в зависимости от типа множества ${\displaystyle X).}$

• Члены последовательности не обязательно должны нумероваться натуральными числами — к примеру, последовательность Фибоначчи может быть продолжена на отрицательные целые числа.
• Существуют и так называемые многомерные последовательности, нумеруемые элементами декартова произведения ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} }$. К таким относится, например, многомерное расширение последовательности Туэ-Морса. Также многочлен от нескольких переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots x_{n-1},x_{n}}$ можно рассматривать как конечную ${\displaystyle n}$-мерную последовательность, где на позиции ${\displaystyle i_{1},i_{2},\dots i_{n-1},i_{n}}$ находится коэффициент при произведении ${\displaystyle x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\dots x_{n-1}^{i_{n-1}}x_{n}^{i_{n}}}$.