Уравнение Рамануджана — Нагеля

Данное уравнение возникает при решении следующей задачи^[1]: найти все числа Мерсенна ${\displaystyle (}$то есть числа вида ${\displaystyle 2^{b}-1)}$, которые одновременно являются треугольными числами (то есть имеют вид ${\displaystyle {\frac {y(y+1)}{2}}}$). Несложные преобразования приводят к следующему результату:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\ 2^{b}-1={\frac {y(y+1)}{2}}\\[2pt]\Longleftrightarrow &\ 8(2^{b}-1)=4y(y+1)\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-8=4y^{2}+4y\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-7=4y^{2}+4y+1\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-7=(2y+1)^{2}\end{aligned}}}$

Выполнив замену ${\displaystyle n=b+3;\ x=2y+1,}$ получаем уравнение Рамануджана – Нагеля.

Рамануджан в 1913 году высказал гипотезу^[2], что данное уравнение имеет только пять целочисленных решений:

n	3	4	5	7	15	(последовательность A060728 в OEIS)
x	1	3	5	11	181	(последовательность A038198 в OEIS)

По своему обыкновению, Рамануджан не привёл доказательства и не пояснил, как он пришёл к такой гипотезе. Независимо от Рамануджана, в 1943 году аналогичную гипотезу выдвинул норвежский математик Вильгельм Юнгрен^[3]. В 1948 году другой норвежский математик, Трюгве Нагель, опубликовал доказательство^[4][5].

Соответствующие решениям «треугольные числа Мерсенна» часто называют числами Рамануджана – Нагеля^[1]:

${\displaystyle {\frac {y(y+1)}{2}}={\frac {(x-1)(x+1)}{8}}}$

Их также пять: 0, 1, 3, 15, 4095 (последовательность A076046 в OEIS).

Немецкий математик Карл Людвиг Зигель рассмотрел несколько более общее уравнение вида:

${\displaystyle x^{2}+D=AB^{n},}$

где ${\displaystyle D,A,B}$ — целые константы, и надо найти натуральные значения переменных ${\displaystyle x,n}$. Зигель доказал:

• количество решений этого диофантова уравнения в любом случае конечно^[6];
• при ${\displaystyle A=1,B=2}$ уравнение имеет не более двух решений, за исключением изложенного выше случая ${\displaystyle D=7}$;
• существует бесконечно много значений ${\displaystyle D,}$ для которых существуют два решения^[7], например, ${\displaystyle D=2^{m}-1}$.

Пример: ${\displaystyle D=119,A=15,B=2.}$ Уравнение ${\displaystyle x^{2}+119=15\cdot 2^{n},}$ имеет шесть решений:

n	3	4	5	6	8	15
x	1	11	19	129	61	701

Ещё одно обобщение — уравнение Лебега — Нагеля:

${\displaystyle x^{2}+D=Ay^{n}}$

где ${\displaystyle D,A}$ — целые константы, и надо найти натуральные значения переменных ${\displaystyle x,y,n.}$ Уравнение названо в честь французского математика Виктора-Амеде Лебега, который в 1850 году исследовал уравнение ${\displaystyle x^{2}+1=y^{n}}$ и доказал, что оно имеет только тривиальные решения^[8]:

${\displaystyle 0^{2}+1=y^{0};\quad 0^{2}+1=1^{n};\quad x^{2}+1=(x^{2}+1)^{1}}$

Из результатов Шори и Тейдемана^[9] следует, что число решений уравнение Лебега — Нагеля всегда конечно^[10]. Бюжо, Миньотт и Сиксек решили уравнения этого типа^[11] с ${\displaystyle A=1}$ и ${\displaystyle 1\leqslant D\leqslant 100}$. В частности, обобщение исходного уравнения Рамануджана-Нагеля:

${\displaystyle y^{n}-7=x^{2}\,}$

имеет положительные целочисленные решения, когда x = 1, 3, 5, 11 и 181.