Ребро (геометрия)

Двугранный угол представляет собой фигуру в пространстве, образованную двумя полуплоскостями, имеющими общую ограничивающую их прямую, а также часть пространства, ограниченную этими полуплоскостями. Полуплоскости называют гранями двугранного угла, а их общую прямую — ребром. Двугранный угол измеряется линейным углом α, то есть углом между двумя перпендикулярами к ребру, выходящими из одной точки и лежащими в разных гранях, или, иначе, углом, образованным пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной к ребру (рис. 1)^[1].

Рис. 1

Плоскости, образующие многогранный угол, называются его гранями; прямые, по которым пересекаются последовательные грани, называются рёбрами многогранного угла.

Многогранником называется тело, граница которого состоит из кусков плоскостей (многоугольников). Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, их вершины — вершинами многогранника.

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны плоскости основания, призма — прямая, если нет — наклонная. Перпендикулярным сечением призмы называется сечение, образованное плоскостью, перпендикулярной боковому ребру. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра (${\displaystyle p'}$) перпендикулярного сечения на длину (${\displaystyle l}$) бокового ребра: ${\displaystyle S_{\delta o\kappa }=p'l}$. Объём (${\displaystyle V}$) призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения (${\displaystyle S'}$) на длину (${\displaystyle l}$) бокового ребра: ${\displaystyle V=S'l}$,

Все рёбра куба равны. Объём (${\displaystyle V}$) куба выражается формулой ${\displaystyle V=a^{3}}$, где ${\displaystyle a}$ — ребро куба^[2].

Выпуклый многогранник представляет собой выпуклую оболочку конечного числа точек в евклидовом пространстве ${\displaystyle E^{n}}$. Выпуклый многогранник имеет конечное число граней. Каждая грань есть выпуклый многогранник меньшей размерности. Одномерные грани называются рёбрами.

В элементарной геометрии многогранник определяют как фигуру, составленную из многоугольников, которые называются гранями, их стороны — рёбрами. Многогранник является выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани^[3].

Теорема Эйлера (1758 г.)

Число граней минус число рёбер плюс число вершин выпуклого многогранника равно двум: ${\displaystyle \Gamma -\mathrm {P} +\mathrm {B} =2.}$

• Теорема Коши (1812 г.)

Если два выпуклых многогранника изометричны друг другу, то второй многогранник может быть получен из первого движением его как жёсткого целого (или движением и зеркальным отражением).

Отсюда следует, что если грани выпуклого многогранника жёсткие, то он сам жёсток, хотя бы его грани были скреплены друг с другом по рёбрам шарнирно. Это утверждение в качестве гипотезы высказывалось Евклидом^[4].

• Теорема Штейница (1917 г.)

Сеткой выпуклого многогранника называют сетку, составленную его рёбрами. Теорема для ${\displaystyle n}$-мерных выпуклых многогранников, при ${\displaystyle n=3}$^[5].

Для не образующей двуугольных и самокасающихся ячеек связной сети рёбер на сфере ${\displaystyle S^{2}}$ найдётся выпуклый многогранник в евклидовом пространстве ${\displaystyle E^{3}}$ с таким строением сети.

Граф задаётся множеством ${\displaystyle V}$, элементы которого называются вершинами, и семейством подмножеств множества ${\displaystyle V}$, называемых рёбрами графа^[6].

Ребро возврата относится к одному из типов особенностей дифференцируемых отображений многообразия в евклидово пространство. Ребро возврата представляет собой гладкую кривую ${\displaystyle L}$, являющейся особой линией развёртывающейся поверхности, вдоль которой две её полости ${\displaystyle S_{1}}$и ​${\displaystyle S_{2}}$ касаются друг друга^[7].

Аналитический полиэ́др представляет собой область ${\displaystyle \Pi }$ комплексного пространства ${\displaystyle C^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, записанную в следующем виде: ${\displaystyle \Pi =\{z\in D;|f_{i}(z)<1,i=1,2,...m\}}$. Гранями аналитического полиэдра называются множества ${\displaystyle \sigma _{i}=\{z\in D;|f_{i}(z)=1;|f_{j}(z)<1,j\neq i\}}$. Пересечение любых ${\displaystyle k}$ различных граней (${\displaystyle 2\leqslant k\leqslant n}$) называется ребром аналитического полиэдра. Совокупность ${\displaystyle n}$-мерных рёбер ${\displaystyle \sigma _{{i_{1}}...{i_{n}}}=\sigma _{i_{1}}\cap ...\cap \sigma _{i_{n}}}$​​ образует остов аналитического полиэдра^[8].

Ребро Грина — прямая, соединяющая фокусы конгруэнции касательных к линиям сети. Для сети, которая одновременно геодезическая и чебышевская, ребро Грина совпадает с нормалью II рода. Если на поверхности осуществляется геометрия Вейля, то существует сеть, ось и ребро Грина которой совпадают с нормалями I и II рода соответственно^[9].