Q.E.D.

Фраза quod erat demonstrandum является переводом на латинский язык с греческого ὅπερ ἔδει δεῖξαι (hoper edei deixai; сокращённо ΟΕΔ). Значение латинской фразы — «то [самое], что должно было быть доказано» (demonstrandum — герундив).

Греческая фраза использовалась многими ранними греческими математиками, включая Евклида^[2] и Архимеда. Латинская фраза засвидетельствована в переводе Евклида 1501 года, выполненном Джорджо Валла^[3]. Её сокращение q.e.d. впервые встречается в 1598 году у Иоганна Преториуса^[4], затем чаще в 1643 году у Антона Дёйзинга^[5], широко — в 1655 году у Исаака Барроу в форме Q.E.D.^[6], и впоследствии у многих математиков и философов после Ренессанса^[7].

Во время европейского Возрождения учёные часто писали на латыни, и такие фразы, как Q.E.D., часто использовались для завершения доказательств.

Возможно, самым известным примером использования Q.E.D. в философском рассуждении является труд Этика Баруха Спинозы, опубликованный посмертно в 1677 году^[9]. Написанный на латыни, он считается magnum opus Спинозы. Стиль и система книги, как отмечает сам Спиноза, «доказаны в геометрическом порядке»: после аксиом и определений следуют предложения. Работа стала значительным шагом вперёд по сравнению со стилем Рене Декарта в Размышлениях, написанных в форме дневника^[10].

Существует латинская фраза со схожим значением, обычно также сокращаемая, но встречающаяся реже. Quod erat faciendum (что и требовалось сделать) происходит от греческой формулы ὅπερ ἔδει ποιῆσαι (), означающей «что нужно было выполнить»^[11].

Евклид использовал греческий оригинал Quod Erat Faciendum (Q.E.F.) для завершения предложений, которые не были доказательствами теорем, а представляли собой построения геометрических объектов^[12]. Например, первое предложение Евклида, показывающее, как построить равносторонний треугольник по заданной стороне, завершается именно так^[13].

В английском языке нет общепринятого формального эквивалента, хотя завершение доказательства может быть обозначено простыми фразами вроде «thus it is proved» («таким образом, доказано»), «this completes the proof» («на этом доказательство завершено»), «as required» («как требовалось»), «as desired» («как желалось»), «as expected» («как ожидалось»), «hence proved» («следовательно, доказано»), «ergo» («следовательно»), «so correct» («итак, верно») и другими подобными выражениями.

Ввиду важности доказательств в математике, математики со времён Евклида выработали традиции, позволяющие выделять начало и конец доказательства. В англоязычных печатных текстах формулировки теорем, лемм и предложений традиционно выделяются курсивом. Начало доказательства обычно следует сразу после формулировки и обозначается словом «proof» (доказательство), выделенным жирным шрифтом или курсивом. Для обозначения конца доказательства существует несколько символических конвенций.

Хотя некоторые авторы до сих пор используют классическое сокращение Q.E.D., в современных математических текстах оно встречается относительно редко. Пол Халмос утверждал, что именно он ввёл в обиход использование сплошного чёрного квадрата (или прямоугольника) в качестве символа Q.E.D.^[14], и эта практика стала стандартной, хотя и не универсальной. Халмос отмечал, что заимствовал этот символ из журнальной типографики, где простые геометрические фигуры использовались для обозначения конца статьи — так называемые end marks^[15][16]. Этот символ впоследствии получил название тумбстоун, символ Халмоса или просто halmos среди математиков. Часто символ Халмоса рисуют на доске, чтобы обозначить конец доказательства во время лекции, хотя эта практика менее распространена, чем в печатных текстах.

Символ тумбстоуна представлен в TeX как символ ${\displaystyle \blacksquare }$ (чёрный квадрат, \blacksquare), а иногда — как ${\displaystyle \square }$ (пустой квадрат, \square или \Box)^[17]. В AMS Theorem Environment для LaTeX пустой квадрат является символом конца доказательства по умолчанию. В Unicode явно предусмотрен символ «конец доказательства» — U+220E (∎). Некоторые авторы используют другие символы Unicode для обозначения конца доказательства, например ▮ (U+25AE, чёрный вертикальный прямоугольник) и ‣ (U+2023, треугольная марка). Другие авторы применяют две косые черты (//, ${\displaystyle //}$) или четыре косые черты (////, ${\displaystyle ////}$)^[18]. В иных случаях авторы выделяют доказательства типографским способом — например, оформляя их в виде абзацев с отступом^[19].

В романе Джозефа Хеллера Уловка-22 (1961) капеллан, которому поручили проверить поддельное письмо, якобы подписанное им (хотя он знал, что не подписывал его), убедился, что его имя действительно там стоит. Следователь ответил: «Значит, вы его написали. Q.E.D.». Капеллан возразил, что не писал письмо и что это не его почерк, на что следователь сказал: «Значит, вы снова подписали своё имя чужим почерком»^[20].