Метрическое пространство

Метри́ческое простра́нство
Метри́ческое простра́нство
Область использования	геометрия; топология; функциональный анализ; математический анализ; теория вероятностей

Метри́ческое простра́нство
Метри́ческое простра́нство
Область использования	геометрия; топология; функциональный анализ; математический анализ; теория вероятностей

Метри́ческое простра́нство — множество вместе с заданной на нём метрикой, то есть функцией, определяющей расстояние между любыми двумя его элементами. Является одним из центральных понятий геометрии, топологии и функционального анализа.

Понятие метрического пространства формировалось постепенно на протяжении XIX — начала XX века.

Предыстория

Идея абстрактного расстояния уходит корнями в работы Евклида, чьи «Начала» (около 300 г. до н. э.) заложили основы евклидовой геометрии, где расстояние между точками удовлетворяет всем аксиомам метрики. Однако формализация понятия расстояния как абстрактной функции произошла лишь в XIX веке.

В 1870—1880-х годах Георг Кантор и Рихард Дедекинд разработали теорию множеств, создав необходимый язык для формализации. Кантор ввёл понятия предельной точки, замкнутого множества и фундаментальной последовательности для подмножеств вещественной прямой, используя при этом стандартное расстояние $|x-y|$ .

Важную роль сыграли работы Карла Вейерштрасса, который в своих лекциях 1860—1880-х годов систематически использовал понятия равномерной сходимости и равномерной непрерывности в пространствах функций, фактически оперируя метрикой равномерной сходимости.

Формирование понятия

В 1897 году в докладе на Первый Международный математический конгресс в Цюрихе Жак Адамар рассмотрел задачи вариационного исчисления с точки зрения «функционального исчисления» и фактически использовал понятие расстояния между функциями.

В 1905—1906 годах Морис Фреше в своей диссертации «Sur quelques points du calcul fonctionnel» (О некоторых вопросах функционального исчисления)^[1] впервые дал абстрактное определение того, что он назвал «классом (L)» (фр. classe (L)). Фреше определил понятие предела для элементов произвольного множества, введя аксиомы, которым должен удовлетворять предельный переход. Он также ввёл понятие «écart» (расстояние) — функции, сопоставляющей паре элементов неотрицательное число и удовлетворяющей аксиомам тождества, симметрии и неравенства треугольника. Фреше назвал пространства, наделённые таким расстоянием, «классами (E)».

Фреше показал, что многие результаты анализа — теоремы о компактности, непрерывности, сходимости — могут быть доказаны в этой абстрактной постановке. В своей работе он рассмотрел примеры: пространство вещественных последовательностей и пространство непрерывных функций, снабдив каждое подходящей метрикой.

Вклад Хаусдорфа

Решающий шаг был сделан Феликсом Хаусдорфом в его фундаментальной монографии «Grundzüge der Mengenlehre» (Теория множеств, 1914)^[2].

Ф. Хаусдорф:

ввёл термин «метрическое пространство» (нем. metrischer Raum);
сформулировал аксиомы метрики в современном виде;
систематически развил теорию топологических пространств, показав, что метрические пространства являются их частным случаем;
ввёл метрику Хаусдорфа на множестве замкнутых подмножеств.

Хаусдорф также разработал классификацию топологических пространств по аксиомам отделимости (в частности, T₂-пространства названы в его честь).

Развитие в XX веке

В 1920—1930-х годах теория метрических пространств получила развитие в работах Стефана Банаха, Павла Урысона, Казимежа Куратовского, Павла Александрова и других.

Стефан Банах в диссертации (1920, опубликована в 1922)^[3] и монографии «Théorie des opérations linéaires» (1932)^[4]:

ввёл и систематически изучил полные нормированные пространства (позднее названные банаховыми);
доказал теорему о сжимающем отображении — одну из основных теорем теории метрических пространств;
развил теорию линейных операторов в метрических пространствах.

Павел Урысон в 1925—1926 годах^[5] доказал метризационную теорему: всякое второе счётное нормальное T₁-пространство метризуемо. Этот результат стал одной из первых глубоких связей между топологическими и метрическими пространствами.

В 1937 году Маршалл Стоун доказал, что каждое метрическое пространство является паракомпактным^[6].

В 1951 году Дзюнити Нагата и Юрий Смирнов независимо доказали обобщённую метризационную теорему, характеризующую метризуемость топологических пространств.

Современное развитие

Во второй половине XX века понятие метрического пространства стало центральным в ряде новых областей.

Михаил Громов в 1980-х годах ввёл метрику Громова — Хаусдорфа^[7] и гиперболические пространства, что привело к расцвету геометрической теории групп.

пространства Александрова с ограничениями на кривизну (введённые А. Д. Александровым в 1950-х годах) стали предметом активного изучения.

Теория оптимального транспорта, использующая метрику Васерштейна, нашла многочисленные приложения — от теории вероятностей до машинного обучения.

В информатике метрические пространства применяются в теории кодирования (метрика Хэмминга), при поиске ближайшего соседа, кластерном анализе и обработке данных.

Пара $(M,;d)$ , состоящая из множества $M$ и функции $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$ из его декартова квадрата в множество вещественных чисел, называется метрическим пространством, если для любых $x,y,z\in M$ выполняются следующие аксиомы: $d(x,y)\geqslant 0$ (аксиома неотрицательности); $d(x,y)=0\iff x=y$ (аксиома тождества, или аксиома невырожденности); $d(x,y)=d(y,x)$ (аксиома симметрии); $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ (неравенство треугольника).

В этом случае:

множество $M$ называется подлежащим множеством или носителем метрического пространства;
функция $d$ называется метрикой или функцией расстояния;
элементы множества $M$ называются точками метрического пространства.

Замечания

Требование неотрицательности значений метрики (аксиома 1) является избыточным, поскольку оно следует из остальных аксиом:

0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2\cdot d(x,y)

.

Эти условия выражают интуитивные представления о понятии расстояния: расстояние между различными точками положительно, расстояние от $x$ до $y$ такое же, как от $y$ до $x$ , а неравенство треугольника означает, что путь от $x$ до $z$ через промежуточную точку $y$ не короче прямого пути от $x$ до $z$ ^[8].

Расстояние между точками $x$ и $y$ в метрическом пространстве $M$ обычно обозначается $d(x,y)$ или $\rho (x,y)$ .

В метрической геометрии принято обозначение $|xy|$ или $|xy|_{M}$ , если необходимо подчеркнуть, что речь идёт о пространстве $M$ . Также употребляются обозначения $|x-y|$ и $|x-y|_{M}$ (несмотря на то, что выражение $x-y$ для точек $x$ и $y$ может не иметь смысла).

В классической геометрии приняты обозначения $XY$ или $|XY|$ (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

Биекция между метрическими пространствами $(X,d_{X})$ и $(Y,d_{Y})$ , сохраняющая расстояния, то есть такая функция $f\colon X\to Y$ , что $d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))=d_{X}(x_{1},x_{2})$ для всех $x_{1},x_{2}\in X$ , называется изометрией. В этом случае пространства $(X,d_{X})$ и $(Y,d_{Y})$ называются изометричными.

Если $x_{n}\in X$ , $x\in X$ и $d(x_{n},x)\to 0$ при $n\to \infty$ , то говорят, что последовательность $(x_{n})$ сходится к $x$ , и пишут $x_{n}\to x$ ^[9].

Если $M$ — подмножество множества $X$ , то, рассматривая сужение $d_{M}=d_{X}{\big |}_{M\times M}$ метрики $d_{X}$ на множество $M$ , получаем метрическое пространство $(M,d_{M})$ , которое называется подпространством пространства $(X,d_{X})$ .

Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.

Метрика $d$ на $M$ называется внутренней, если расстояние между любыми двумя точками $x$ и $y$ в $M$ равно инфимуму длин кривых, соединяющих эти точки.

Пространство с внутренней метрикой называется геодезическим, если любые две точки $x$ и $y$ в $M$ можно соединить кривой, длина которой равна $d(x,y)$ (такая кривая называется геодезической).

Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит совокупность открытых шаров: $B(x;,r)={y\in M\mid d(x,y)<r},$ где $x\in M$ и $r>0$ — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Множество $O\subseteq M$ является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.

Две метрики на одном множестве, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.

Топологическое пространство, топология которого может быть порождена некоторой метрикой, называется метризуемым.

Расстояние от точки $x$ до подмножества $S\subseteq M$ определяется по формуле: $d(x,S)=\inf {d(x,s)\mid s\in S}$ .

Равенство $d(x,S)=0$ выполняется тогда и только тогда, когда $x$ принадлежит замыканию ${\overline {S}}$ множества $S$ .

Дискретная метрика: $d(x,y)=0$ , если $x=y$ , и $d(x,y)=1$ во всех остальных случаях.

Вещественные числа с функцией расстояния $d(x,y)=|x-y|$ и, более общо, евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ с евклидовой метрикой являются полными метрическими пространствами.

Манхэттенское расстояние (расстояние городских кварталов): $d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=|\mathbf {p} -\mathbf {q} |1=\sum {i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|,$ где $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$ , $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ .

Пусть $F(X,Y)$ — пространство непрерывных ограниченных отображений из топологического пространства $X$ в метрическое пространство $(Y,d_{Y})$ . Расстояние между двумя отображениями $f_{1}$ и $f_{2}$ определяется как $d_{F}(f_{1},f_{2})=\sup {d_{Y}(f_{1}(x),f_{2}(x))\colon x\in X}$ . Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве $X$ . В частном случае, когда $X$ — компактное пространство, $Y=\mathbb {R}$ , получается пространство $C(X)$ всех непрерывных функций на $X$ с метрикой равномерной сходимости.

Пусть $L([a,b])$ , $R([a,b])$ , $C([a,b])$ — пространства функций на отрезке $[a,b]$ , соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману и непрерывных. Расстояние в них можно определить по формуле: $d(f_{1},f_{2})=\int \limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|,dx.$ Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры нуль (иначе функция $d$ будет лишь псевдометрикой). В пространстве непрерывных функций на отрезке функции, совпадающие почти всюду, совпадают всюду.

В пространстве $C^{k}([a,b])$ функций, имеющих $k$ непрерывных производных, метрика вводится по формуле: $d_{k}(f_{1},f_{2})=\max {\bigl \{}d_{0}(f_{1},f_{2}),d_{0}(f'_{1},f'_{2}),\ldots ,d_{0}(f_{1}^{(k)},f_{2}^{(k)}){\bigr \}}$ , где $d_{0}$ — метрика равномерной сходимости на $C([a,b])$ .

Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив $d(x,y)=|x-y|$ .

Конечномерные вещественные нормированные пространства называются пространствами Минковского (в смысле метрической геометрии; не путать с пространством Минковского специальной теории относительности). В случае размерности два — плоскостью Минковского.

Пусть $(p_{n}){n\in \mathbb {N} }$ — счётное разделяющее семейство полунорм, определяющих локально выпуклую топологию на топологическом векторном пространстве $E$ (семейство называется разделяющим, если для любого $x\neq 0$ существует $n$ такое, что $p_{n}(x)>0$ ). Тогда $d(x,y)=\sum {n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}$ является метрикой, определяющей ту же топологию. (Множитель ${\tfrac {1}{2^{n}}}$ можно заменить на любую суммируемую последовательность $(a_{n})$ строго положительных чисел.) Если семейство полунорм не является разделяющим, данная формула задаёт лишь псевдометрику.

Любое связное риманово многообразие $M$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как инфимум длин путей, соединяющих пару точек.

Множество вершин любого связного графа $G$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому ребру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль путей из одной вершины в другую.

Французская железнодорожная метрика, также известная как метрика SNCF, определяется на евклидовой плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ : $d(x,y)={\begin{cases}|x-y|,&{\text{если }}x,y{\text{ и начало координат коллинеарны;}}\\|x|+|y|,&{\text{иначе.}}\end{cases}}$ . Это пример метрики, не порождённой нормой.

Расстояние редактирования графа определяет метрику на множестве графов.

Расстояние Хэмминга в теории кодирования.

Строковые метрики, такие как расстояние Левенштейна и другие расстояния редактирования, определяют расстояние на множестве строк.

Множество компактных непустых подмножеств $K(M)$ любого метрического пространства $M$ можно превратить в метрическое пространство с помощью метрики Хаусдорфа: $D(X,Y)=\max !\left(\sup _{x\in X}\inf _{y\in Y}d(x,y),;\sup _{y\in Y}\inf _{x\in X}d(x,y)\right)$ .

Два подмножества близки в этой метрике, если каждая точка одного множества находится близко к некоторой точке другого.

Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство с помощью метрики Громова — Хаусдорфа.

Метрика Васерштейна определяет расстояние между распределениями вероятностей.

   Декартово произведение метрических пространств  $(X,d_{X})$  и  $(Y,d_{Y})$  может быть наделено метрикой различными способами, например:
   *  $d_{X\times Y}{\bigl (}(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}){\bigr )}=d_{X}(x_{1},x_{2})+d_{Y}(y_{1},y_{2});$ 
   *  $d_{X\times Y}{\bigl (}(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}){\bigr )}={\sqrt {d_{X}(x_{1},x_{2})^{2}+d_{Y}(y_{1},y_{2})^{2}}};$ 
   *  $d_{X\times Y}{\bigl (}(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}){\bigr )}=\max {d_{X}(x_{1},x_{2}),,d_{Y}(y_{1},y_{2})}.$

Все эти метрики эквивалентны, то есть определяют одну и ту же топологию произведения.

Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности его точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность)^[10].

Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу окрестностей в каждой точке.

Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу.

Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует точечно-счётная база — база такая, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов (однако это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

Метрические пространства с короткими отображениями (нерасширяющими отображениями) в качестве морфизмов образуют категорию, обычно обозначаемую Met.

Псевдометрика

Для данного множества $M$ функция $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$ называется псевдометрикой на $M$ , если для любых точек $x,y,z\in M$ : $d(x,x)=0$ ; $d(x,y)\geqslant 0$ ; $d(x,y)=d(y,x)$ (симметрия); $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ (неравенство треугольника).

В отличие от метрики, различные точки могут находиться на нулевом расстоянии: из $d(x,y)=0$ не обязательно следует $x=y$ . Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве $M/{\sim }$ , где $x\sim y\iff d(x,y)=0$ .

Квазиметрика

Для данного множества $M$ функция $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$ называется квазиметрикой, если для любых точек $x,y,z\in M$ : $d(x,y)\geqslant 0$ (неотрицательность); $d(x,y)=0\iff x=y$ (невырожденность); $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ (неравенство треугольника).

То есть квазиметрика удовлетворяет всем аксиомам метрики, за исключением аксиомы симметрии: в общем случае $d(x,y)\neq d(y,x)$ ^[11]^[12].

Примеры квазиметрики встречаются в повседневной жизни. Например, если $X$ — множество горных селений, время пешего перехода между ними образует квазиметрику, поскольку подъём занимает больше времени, чем спуск. Другой пример — расстояние по дорогам с односторонним движением: путь из точки $A$ в точку $B$ может проходить по иным улицам, чем путь из $B$ в $A$ , и иметь другую длину.

Ультраметрика

Метрика $d$ на $M$ называется ультраметрикой, если она удовлетворяет усиленному неравенству треугольника: для всех $x,y,z\in M$

d(x,z)\leqslant \max {\bigl (}d(x,y),,d(y,z){\bigr )}

.

Расширенная метрика (∞-метрика)

Иногда удобно рассматривать расширенные метрики ( $\infty$ -метрики), то есть метрики со значениями в $[0,+\infty ]$ . Для любой $\infty$ -метрики можно построить конечную метрику, определяющую ту же топологию, например:

d'(x,y)={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}}

или

d''(x,y)=\min {\bigl (}1,,d(x,y){\bigr )}.

Для любой точки $x$ такого пространства множество точек, находящихся от неё на конечном расстоянии, образует обычное метрическое пространство, называемое метрической компонентой точки $x$ .

Метаметрика

В метаметрике (определённой Юсси Вяйсялей^[13]) все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние от точки до самой себя может быть отлично от нуля: $d(x,y)\geqslant 0$ ; $d(x,y)=0\implies x=y$ (но $d(x,x)$ может быть положительным); $d(x,y)=d(y,x)$ ; $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ .

Метаметрики возникают при изучении гиперболических пространств Громова и их границ. Визуальная метаметрика удовлетворяет $d(x,x)=0$ для точек $x$ на границе, но для внутренних точек $d(x,x)$ приблизительно равно расстоянию от $x$ до границы.

Преметрика

Преметрикой называется функция $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$ , удовлетворяющая лишь двум условиям: $d(x,y)\geqslant 0$ ; $d(x,x)=0$ .

Термин не вполне устоялся: иногда он используется для обозначения других обобщений метрики^[14]^[15]. В русскоязычной литературе встречается вариант «праметрика»^[16].

Любая преметрика порождает топологию следующим образом: для $r>0$ определяется $r$ -шар с центром в точке $p$ как $B_{r}(p)={x\mid d(x,p)<r}$ . Множество называется открытым, если для любой точки $p$ в этом множестве существует $r$ -шар с центром в $p$ , целиком содержащийся в множестве. В общем случае сами $r$ -шары не обязаны быть открытыми множествами. Любая преметрика определяет оператор предзамыкания $\operatorname {cl}$ :

\operatorname {cl} (A)={x\mid d(x,A)=0}

.

Комбинации ослаблений

Префиксы псевдо-, квази- и полу- могут комбинироваться. Например, псевдоквазиметрика (иногда называемая гемиметрикой) — это преметрика, удовлетворяющая неравенству треугольника, но не обязательно выполняющая аксиомы симметрии и невырожденности. Для псевдоквазиметрических пространств открытые $r$ -шары образуют базу топологии. Простейший пример: множество ${0,1}$ с $d(0,1)=1$ , $d(1,0)=0$ ; ассоциированное топологическое пространство является пространством Серпинского.

Расширенные псевдоквазиметрические пространства изучались Уильямом Ловером как «обобщённые метрические пространства»^[17]^[18]. С категорной точки зрения расширенные псевдометрические и расширенные псевдоквазиметрические пространства вместе с нерасширяющими отображениями ведут себя лучше всего среди категорий метрических пространств: в них можно брать произвольные произведения и копроизведения, а также образовывать факторобъекты.

Линейное метрическое пространство

Линейное пространство $V$ над полем $F$ называется линейным метрическим пространством, если в нём задана трансляционно инвариантная метрика, то есть $d(x+z,y+z)=d(x,y)$ для всех $x,y,z\in V$ , и алгебраические операции непрерывны в этой метрике^[9]: $x_{n}\to x,;y_{n}\to y\implies x_{n}+y_{n}\to x+y$ ; $x_{n}\to x,;\lambda _{n}\to \lambda \implies \lambda _{n}x_{n}\to \lambda x$ .

Пример: линейное пространство всех комплексных последовательностей можно превратить в линейное метрическое пространство с помощью метрики

d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}\cdot {\frac {|x_{i}-y_{i}|}{1+|x_{i}-y_{i}|}}

.

Гиперметрическое пространство

Гиперметрическое пространство — метрическое пространство $(M,d)$ , в котором выполнены гиперметрические неравенства: для любых точек $x_{1},\dots ,x_{n}\in M$ и целых чисел $b_{1},\dots ,b_{n}$ с $\sum _{i=1}^{n}b_{i}=1$

\sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot d(x_{i},x_{j})\leqslant 0

.

При $n=3$ , $b_{1}=b_{2}=1$ , $b_{3}=-1$ гиперметрическое неравенство превращается в обычное неравенство треугольника:

d(x_{1},x_{2})-d(x_{1},x_{3})-d(x_{2},x_{3})\leqslant 0

.

Пример гиперметрического пространства: $\ell _{1}$ -пространство^[19].

Метрические структуры занимают центральное место в различных разделах физики и других прикладных дисциплин. Во всех перечисленных ниже областях понятие расстояния между объектами (состояниями, конфигурациями, сигналами, последовательностями) формализуется с помощью метрик, что позволяет применять единый математический аппарат для решения содержательно различных задач.

Общая теория относительности и дифференциальная геометрия

В общей теории относительности пространство-время описывается как псевдориманово многообразие с метрическим тензором $g_{\mu \nu }$ , определяющим интервал между событиями:

ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }.

Хотя лоренцева метрика не является метрикой в строгом смысле (она не удовлетворяет аксиоме положительной определённости), математический аппарат метрических и псевдометрических пространств лежит в основе описания гравитационных полей, чёрных дыр, космологических моделей и гравитационных волн. Геодезические линии в таком пространстве определяют траектории свободных частиц и световых лучей^[20].

Собственно метрические пространства (в смысле аксиом Хаусдорфа) возникают в общей теории относительности при рассмотрении пространственных сечений: каждое трёхмерное пространственноподобное сечение пространства-времени является римановым многообразием с положительно определённой метрикой.

Квантовая механика и квантовая информатика

В квантовой механике состояния системы описываются векторами гильбертова пространства, которое является метрическим пространством с метрикой, порождённой нормой:

d(\psi ,\varphi )=\|\psi -\varphi \|.

В квантовой информатике для сравнения квантовых состояний (матриц плотности) используются специализированные метрики:

расстояние в следовой норме:

D(\rho ,\sigma )={\tfrac {1}{2}}\,\|\rho -\sigma \|_{1}={\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \!{\sqrt {(\rho -\sigma )^{\dagger }(\rho -\sigma )}},

где $\|\cdot \|_{1}$ — следовая норма;

расстояние Бюреса:

D_{B}(\rho ,\sigma )={\sqrt {2{\bigl (}1-\operatorname {tr} \!{\sqrt {{\sqrt {\rho }}\,\sigma \,{\sqrt {\rho }}}}{\bigr )}}};

угол Фубини — Штуди, определяющий метрику на проективном пространстве чистых состояний^[21].

Эти метрики позволяют количественно оценивать различимость квантовых состояний, точность квантовых операций и ёмкость квантовых каналов связи.

Статистическая механика и термодинамика

В статистической механике пространство конфигураций или фазовое пространство системы частиц является метрическим пространством. Понятие расстояния используется при изучении:

сходимости к равновесным распределениям;
эргодических свойств динамических систем;
фазовых переходов;
устойчивости стационарных состояний.

В термодинамике и информационной геометрии на пространстве распределений вероятностей вводится метрика Фишера — Рао, порождённая информационной матрицей Фишера. Эта метрика позволяет измерять «расстояние» между статистическими моделями и используется при анализе:

эффективности статистических оценок;
геометрии семейств распределений;
термодинамических процессов (через связь энтропии и метрики Фишера)^[22].

Теория динамических систем

В теории динамических систем метрические пространства возникают естественным образом:

фазовое пространство системы является метрическим пространством;
устойчивость траекторий анализируется через поведение расстояний между близкими орбитами;
понятие аттрактора формализуется с помощью метрики Хаусдорфа;
показатели Ляпунова измеряют скорость экспоненциального расхождения близких траекторий.

Кроме того, топологическая энтропия динамической системы определяется через метрику и характеризует сложность динамики. Различные метрики на пространстве орбит используются при изучении хаотического поведения и бифуркаций^[23].

Обработка сигналов и теория связи

В обработке сигналов метрические пространства используются для:

сравнения сигналов и определения степени их «близости»;
задач фильтрации и сжатия данных;
анализа шумов и искажений в каналах связи.

Пространство сигналов конечной энергии $L^{2}$ является гильбертовым пространством, в котором расстояние между сигналами интерпретируется как среднеквадратичная ошибка:

d(f,g)={\sqrt {\int |f(t)-g(t)|^{2}\,dt}}.

В теории кодирования расстояние Хэмминга определяет метрику на множестве кодовых слов и позволяет оценивать корректирующую способность кода: код может исправить $t$ ошибок тогда и только тогда, когда минимальное расстояние Хэмминга между его кодовыми словами не менее $2t+1$ ^[24].

Биоинформатика и молекулярная биология

В биоинформатике метрические пространства применяются для количественного сравнения биологических последовательностей и структур:

расстояние Левенштейна и его модификации используются при выравнивании последовательностей ДНК, РНК и белков;
метрики на пространствах трёхмерных структур белков (например, RMSD — среднеквадратичное отклонение координат атомов) позволяют сравнивать пространственные конфигурации молекул;
филогенетические расстояния определяют метрику на множестве биологических видов и используются при построении эволюционных деревьев^[25].

Алгоритмы множественного выравнивания, поиска гомологий (BLAST, FASTA) и кластерного анализа геномных данных существенно опираются на метрическую структуру пространства последовательностей.

Лингвистика и обработка естественного языка

В компьютерной лингвистике и обработке естественного языка метрики используются для:

измерения расстояния между словами (фонетического, орфографического, семантического);
сравнения текстов и документов;
задач автоматического исправления опечаток;
оценки качества машинного перевода;
построения векторных представлений слов (word embeddings), в которых семантическая близость слов соответствует метрической близости в евклидовом или гиперболическом пространстве^[26].

Например, расстояние Левенштейна между строками «кошка» и «мошка» равно 1 (одна замена), что формализует представление об орфографической близости слов. Косинусная метрика в пространстве TF-IDF-векторов используется при поиске похожих документов.

Экономика и финансы

В математической экономике и финансовой математике метрики используются для:

измерения расстояния между портфелями активов;
оценки близости временных рядов (цен, доходностей);
кластеризации финансовых инструментов и рынков;
анализа корреляционных структур.

Метрика Васерштейна находит применение в задачах оптимального транспорта, которые в экономике интерпретируются как задачи оптимального перераспределения ресурсов. Расстояния между распределениями доходов используются для измерения экономического неравенства^[27].

Компьютерное зрение и распознавание образов

В компьютерном зрении и распознавании образов метрические пространства лежат в основе задач:

сравнения изображений;
распознавания лиц;
классификации объектов;
поиска похожих изображений в базах данных.

Современные методы глубокого обучения (metric learning) обучают нейронные сети отображать объекты в метрическое пространство так, чтобы расстояние между представлениями отражало семантическое сходство объектов. Типичные функции потерь в таких задачах (triplet loss, contrastive loss) непосредственно основаны на метрических свойствах пространства представлений^[28].

Геоинформатика и картография

В геоинформатике и картографии метрики используются для:

вычисления расстояний на поверхности Земли (формулы Винсенти, формула гаверсинусов);
определения зон обслуживания и областей доступности;
задач маршрутизации и логистики;
анализа пространственных данных.

На поверхности Земли расстояние вдоль геодезической отличается от евклидова расстояния и определяет метрику на сфере (или эллипсоиде). Для практических задач навигации и картографии точный выбор метрики существенно влияет на результат^[29].

Робототехника и теория управления

В робототехнике и теории управления метрики определяются на конфигурационном пространстве робота — множестве всех допустимых положений его звеньев. Расстояние между конфигурациями используется при:

планировании движений;
оценке близости к препятствиям;
построении оптимальных траекторий;
анализе устойчивости систем управления.

Алгоритмы планирования пути (RRT, PRM) строят графы в конфигурационном пространстве и используют метрику для определения ближайших узлов и оценки стоимости перемещений^[30].

Психология и когнитивные науки

В экспериментальной психологии и когнитивных науках метрические пространства используются для моделирования восприятия сходства. Многомерное шкалирование (MDS) представляет объекты восприятия точками метрического пространства так, чтобы расстояния между точками отражали субъективные оценки несходства стимулов.

При этом экспериментальные данные не всегда удовлетворяют аксиоме симметрии (испытуемый может оценивать сходство объекта $A$ с объектом $B$ иначе, чем сходство $B$ с $A$ ), что приводит к использованию квазиметрик в моделях восприятия^[31].

↑ Fréchet, M. (1906). “Sur quelques points du calcul fonctionnel”. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 22: 1—74.
↑ Хаусдорф Ф. Теория множеств = Grundzüge der mengenlehre / пер. с нем. Н. Б. Веденисова; под ред. и с доп. П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова. — 2-е изд., испр. — М.: УРСС, 2004. — 303 с. — ISBN 5-354-00842-5.
↑ Banach, S. (1922). “Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales”. Fundamenta Mathematicae. 3: 133—181.
↑ Banach, S. Théorie des opérations linéaires. — Warszawa : Monografie Matematyczne, 1932.
↑ Urysohn, P. (1925). “Zum Metrisationsproblem”. Mathematische Annalen. 94: 309—315.
↑ Stone, A. H. (1948). “Paracompactness and product spaces”. Bulletin of the American Mathematical Society. 54: 977—982.
↑ Gromov, M. Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces. — Birkhäuser, 1999.
↑ Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. II том. — М.: Высшая школа, 1970. — С. 296.
↑ ¹ ² Крейн С. Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972. — С. 22—24.
↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.
↑ Steen, L. A. Counterexamples in Topology / L. A. Steen, J. A. Seebach. — Dover, 1995.
↑ Smyth, M. B. (1987). “Quasi-uniformities: reconciling domains and metric spaces”. Mathematical Foundations of Programming Language Semantics: 236—253.
↑ Väisälä, J. (2005). “Gromov hyperbolic spaces”. Expositiones Mathematicae. 23: 187—231.
↑ Булдыгин, В. В. Метрические характеристики случайных величин и процессов / В. В. Булдыгин, Ю. В. Козаченко. — 1998.
↑ Хелемский, А. Я. Лекции по функциональному анализу. — 2004.
↑ Архангельский, А. В. Общая топология III / А. В. Архангельский, В. В. Федорчук. — 1988. — P. 30.
↑ Lawvere, F. W. (2002). “Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. Reprints in Theory and Applications of Categories: 1—37.
↑ Vickers, S. (2005). “Localic completion of generalized metric spaces”. Theory and Applications of Categories. 14: 328—356.
↑ Deza, M. M. Geometry of Cuts and Metrics / M. M. Deza, M. Laurent. — Berlin : Springer-Verlag, 1997. — Vol. 15.
↑ Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — 8-е изд., стереот. — М.: Физматлит, 2006. — 536 с.
↑ Nielsen M. A., Chuang I. L. Quantum Computation and Quantum Information. — Cambridge University Press, 2010.
↑ Amari S., Nagaoka H. Methods of Information Geometry. — AMS, Oxford University Press, 2000.
↑ Каток, А. Б. Введение в современную теорию динамических систем / А. Б. Каток, Б. Хасселблат; Пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — Москва : Факториал, 1999. — 767 с.
↑ Мак-Вильямс, Ф.Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки / перевод с англ. И. И. Грушко, В. А. Зиновьева; под ред. Л. А. Бассалыго. — Москва : Связь, 1979. — 744 с.
↑ Анализ биологических последовательностей : вероятностные модели белков и нуклеиновых кислот / Р. Дурбин [и др.]; пер. с англ. А. А. Миронова. Москва, Ижевск : Ин-т компьютерных исследований, 2006.
↑ Jurafsky D., Martin J. H. Speech and Language Processing. An Introduction to Natural Language Processing, Computational Linguistics, and Speech Recognition. — Pearson, 2024.
↑ Rachev S. T., Klebanov L. B., Stoyanov S. V., Fabozzi F. J. The Methods of Distances in the Theory of Probability and Statistics. — Springer, 2013.
↑ Kaya M., Bilge H. Ş. Deep Metric Learning: A Survey // Symmetry. — 2019. — Vol. 11, no. 9. — P. 1066.
↑ Берлянт А. М. Картография. — М.: Аспект Пресс, 2002. — 336 с.
↑ LaValle S. M. Planning Algorithms. — Cambridge University Press, 2006. — 840 p.
↑ Tversky A. Features of Similarity // Psychological Review. — 1977. — Vol. 84, no. 4. — P. 327—352.

Архангельский А. В., Федорчук В. В. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 17. — ВИНИТИ, 1988. — 232 с.
Булдыгин В. В., Козаченко Ю. В. Метрические характеристики случайных величин и процессов. — К. : ТВіМС, 1998. — 290 с.
Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1976.
Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — Москва: МЦНМО, 2004. — 552 с. — (Современные лекционные курсы). — ISBN 5-94057-065-8.
Gromov, M. Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces. — Birkhäuser, 1999.
Lawvere, F. William. Metric spaces, generalized logic, and closed categories // Reprints in Theory and Applications of Categories. — 2002. — № 1. — С. 1–37.; перепечатано с комментариями из Lawvere, F. William. Metric spaces, generalized logic, and closed categories // Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano. — 1973. — Т. 43. — С. 135–166. — doi:10.1007/BF02924844.
Smyth, M. Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces / под ред. M. Main, A. Melton, M. Mislove, D. Schmidt. — Springer-Verlag, 1987. — Т. 298. — С. 236–253. — doi:10.1007/3-540-19020-1_12.
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. [Counterexamples in Topology Counterexamples in Topology] = 1978. — Dover, 1995. — ISBN 978-0-486-68735-3.
Väisälä, Jussi. Gromov hyperbolic spaces // Expositiones Mathematicae. — 2005. — Т. 23, № 3. — С. 187–231. — doi:10.1016/j.exmath.2005.01.010.
Vickers, Steven. Localic completion of generalized metric spaces, I // Theory and Applications of Categories. — 2005. — Т. 14, № 15. — С. 328–356. Архивная копия от 26 апреля 2021 на Wayback Machine

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Metric space, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Far and near — several examples of distance functions at cut-the-knot.

[1] Fréchet, M. (1906). “Sur quelques points du calcul fonctionnel”. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 22: 1—74.

[2] Хаусдорф Ф. Теория множеств = Grundzüge der mengenlehre / пер. с нем. Н. Б. Веденисова; под ред. и с доп. П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова. — 2-е изд., испр. — М.: УРСС, 2004. — 303 с. — ISBN 5-354-00842-5.

[3] Banach, S. (1922). “Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales”. Fundamenta Mathematicae. 3: 133—181.

[4] Banach, S. Théorie des opérations linéaires. — Warszawa : Monografie Matematyczne, 1932.

[5] Urysohn, P. (1925). “Zum Metrisationsproblem”. Mathematische Annalen. 94: 309—315.

[6] Stone, A. H. (1948). “Paracompactness and product spaces”. Bulletin of the American Mathematical Society. 54: 977—982.

[7] Gromov, M. Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces. — Birkhäuser, 1999.

[8] Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. II том. — М.: Высшая школа, 1970. — С. 296.

[Krein-9] ¹ ² Крейн С. Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972. — С. 22—24.

[10] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.

[11] Steen, L. A. Counterexamples in Topology / L. A. Steen, J. A. Seebach. — Dover, 1995.

[Smyth-12] Smyth, M. B. (1987). “Quasi-uniformities: reconciling domains and metric spaces”. Mathematical Foundations of Programming Language Semantics: 236—253.

[13] Väisälä, J. (2005). “Gromov hyperbolic spaces”. Expositiones Mathematicae. 23: 187—231.

[14] Булдыгин, В. В. Метрические характеристики случайных величин и процессов / В. В. Булдыгин, Ю. В. Козаченко. — 1998.

[15] Хелемский, А. Я. Лекции по функциональному анализу. — 2004.

[16] Архангельский, А. В. Общая топология III / А. В. Архангельский, В. В. Федорчук. — 1988. — P. 30.

[17] Lawvere, F. W. (2002). “Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. Reprints in Theory and Applications of Categories: 1—37.

[18] Vickers, S. (2005). “Localic completion of generalized metric spaces”. Theory and Applications of Categories. 14: 328—356.

[19] Deza, M. M. Geometry of Cuts and Metrics / M. M. Deza, M. Laurent. — Berlin : Springer-Verlag, 1997. — Vol. 15.

[20] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — 8-е изд., стереот. — М.: Физматлит, 2006. — 536 с.

[21] Nielsen M. A., Chuang I. L. Quantum Computation and Quantum Information. — Cambridge University Press, 2010.

[22] Amari S., Nagaoka H. Methods of Information Geometry. — AMS, Oxford University Press, 2000.

[23] Каток, А. Б. Введение в современную теорию динамических систем / А. Б. Каток, Б. Хасселблат; Пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — Москва : Факториал, 1999. — 767 с.

[24] Мак-Вильямс, Ф.Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки / перевод с англ. И. И. Грушко, В. А. Зиновьева; под ред. Л. А. Бассалыго. — Москва : Связь, 1979. — 744 с.

[25] Анализ биологических последовательностей : вероятностные модели белков и нуклеиновых кислот / Р. Дурбин [и др.]; пер. с англ. А. А. Миронова. Москва, Ижевск : Ин-т компьютерных исследований, 2006.

[26] Jurafsky D., Martin J. H. Speech and Language Processing. An Introduction to Natural Language Processing, Computational Linguistics, and Speech Recognition. — Pearson, 2024.

[27] Rachev S. T., Klebanov L. B., Stoyanov S. V., Fabozzi F. J. The Methods of Distances in the Theory of Probability and Statistics. — Springer, 2013.

[28] Kaya M., Bilge H. Ş. Deep Metric Learning: A Survey // Symmetry. — 2019. — Vol. 11, no. 9. — P. 1066.

[29] Берлянт А. М. Картография. — М.: Аспект Пресс, 2002. — 336 с.

[30] LaValle S. M. Planning Algorithms. — Cambridge University Press, 2006. — 840 p.

[31] Tversky A. Features of Similarity // Psychological Review. — 1977. — Vol. 84, no. 4. — P. 327—352.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

Топология
Разделы	Теоретико-множественная Маломерная двумерная трёхмерная четырёхмерная Дифференциальная Геометрическая теория узлов теория кос Комбинаторная Гомотопическая Алгебраическая Алгоритмическая
Основные понятия	Метрическое пространство Топологическое пространство Гомеоморфизм Симплициальный комплекс CW-комплекс Вложение Путь петля Гомотопия ретракция изотопия объемлющая изотопия Расслоение Пучок
Многообразия	Поверхность Трёхмерное многообразие Ориентация Связная сумма Разложение на ручки Слоение Бордизм Коэффициент зацепления Степень отображения
Топологические инварианты	Связность Компактность Эйлерова характеристика Первая группа гомологий Первая группа когомологий Числа Бетти Размерность Фундаментальная группа Конфигурационное пространство Группа классов отображений Когомологии Гомотопические группы

Метрическое пространство

История

Предыстория

Формирование понятия

Вклад Хаусдорфа

Развитие в XX веке

Современное развитие

Определения

Замечания

Обозначения

Связанные определения

Примеры

Конструкции

Свойства

Вариации и обобщения