Многомерное шкалирование

• Поиск скрытых переменных, объясняющих полученную из опыта структуру попарных расстояний между изучаемыми явлениями.
• Проверка гипотез о расположении изучаемых явлений в пространстве скрытых переменных.
• Сжатие полученное опытным путём массива данных путём использования небольшого числа скрытых переменных.
• Наглядное представление данных.

Функцией расстояния называется функция от двух аргументов, которая ставит в соответствие двум шкалируемым объектам расстояние ${\displaystyle d(a_{i},a_{j})}$ между ними так, что выполняются следующие аксиомы: ${\displaystyle d(a_{i},a_{j})=0}$ в том и только том случае, когда объекты ${\displaystyle a_{i}}$ и ${\displaystyle a_{j}}$ совпадают (рефлексивность расстояния), ${\displaystyle d(a_{i},a_{j})=d(a_{j},a_{i})}$ (симметричность расстояния), ${\displaystyle d(a_{i},a_{j})+d(a_{j},a_{k})\geqslant d(a_{i},a_{k})}$ (правило треугольника)^[1].

Функция близости менее формализована, так как она является опытной величиной, например, получаемой в ходе социологического опроса. Это функция ${\displaystyle s(a_{i},a_{j})}$ от двух аргументов, которая двум шкалируемым объектам ставит в соответствие расстояние ${\displaystyle s(a_{i},a_{j})}$ между ними так, что выполняются следующие аксиомы: ${\displaystyle s(a_{i},a_{j})\geqslant s(a_{i},a_{i})}$ (объект ближе к самому себе, чем к любому другому объекту), ${\displaystyle s(a_{i},a_{j})=s(a_{j},a_{i})}$ (симметричность близости), для больших значений ${\displaystyle s(a_{i},a_{j})}$ и ${\displaystyle s(a_{j},a_{k})}$ величина ${\displaystyle s(a_{i},a_{k})}$ имеет, по крайней мере, тот же порядок (ослабленное правило треугольника).