Почти всюду

Пусть ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ — пространство с мерой, свойство ${\displaystyle P}$ говорят, что оно выполняется почти всюду в ${\displaystyle X}$, если существует измеримое множество ${\displaystyle N\in \Sigma }$ с ${\displaystyle \mu (N)=0}$, и для всех ${\displaystyle x\in X\setminus N}$ выполняется свойство ${\displaystyle P}$^[5]. Другой распространённый способ выразить это — сказать, что «почти каждая точка удовлетворяет ${\displaystyle P}$», или что «для почти каждого ${\displaystyle x}$ выполняется ${\displaystyle P(x)}$».

Не требуется, чтобы множество ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$ имело меру нуль; оно может быть неизмеримым. По приведённому определению достаточно, чтобы ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$ содержалось в некотором измеримом множестве ${\displaystyle N}$ меры нуль. Однако эта техническая тонкость исчезает при рассмотрении полного пространства с мерой: если ${\displaystyle X}$ полно, то ${\displaystyle N}$ существует меры нуль тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$ измеримо и имеет меру нуль.

• Если свойство ${\displaystyle P}$ выполняется почти всюду и влечёт свойство ${\displaystyle Q}$, то ${\displaystyle Q}$ также выполняется почти всюду. Это следует из монотонности меры.
• Если ${\displaystyle (P_{n})}$ — конечная или счётная последовательность свойств, каждое из которых выполняется почти всюду, то их совместное выполнение ${\displaystyle \forall n\,P_{n}}$ также выполняется почти всюду. Это следует из счётной полуаддитивности меры.
• В отличие от этого, если ${\displaystyle (P_{x})_{x\in \mathbf {R} }}$ — несчётное семейство свойств, каждое из которых выполняется почти всюду, то их совместное выполнение ${\displaystyle \forall x\,P_{x}}$ не обязательно выполняется почти всюду. Например, если ${\displaystyle \mu }$ — мера Лебега на ${\displaystyle X=\mathbf {R} }$ и ${\displaystyle P_{x}}$ — свойство «не равен ${\displaystyle x}$» (то есть ${\displaystyle P_{x}(y)}$ истинно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle y\neq x}$), то каждое ${\displaystyle P_{x}}$ выполняется почти всюду, но совместное выполнение ${\displaystyle \forall x\,P_{x}}$ не выполняется нигде.

Вследствие первых двух свойств часто возможно рассуждать о «почти каждой точке» пространства с мерой так, как если бы это была обычная точка, а не абстракция. Это часто делается неявно в неформальных математических рассуждениях. Однако следует быть осторожным с таким подходом из-за третьего пункта выше: универсальная квантификация по несчётным семействам утверждений допустима для обычных точек, но не для «почти каждой точки».

• Если ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ — интегрируемая по Лебегу функция и ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ почти всюду, то

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0}$$

${\displaystyle a<b}$

${\displaystyle f(x)=0}$

• Если ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ — монотонная функция, то ${\displaystyle f}$ дифференцируема почти всюду.
• Если ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ измерима по Лебегу и

$${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty }$$

${\displaystyle a<b}$

${\displaystyle E}$

${\displaystyle f}$

${\displaystyle x\in E}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }f(t)\,dt}$$

${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \varepsilon \to 0}$

${\displaystyle E}$

${\displaystyle f}$

${\displaystyle f}$

${\displaystyle f}$

• Ограниченная функция ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она непрерывна почти всюду.
• В качестве курьёза: десятичное разложение почти каждого вещественного числа на отрезке [0, 1] содержит полный текст пьес Шекспира, закодированный в ASCII; аналогично — для любой другой конечной последовательности цифр, см. Нормальное число.

Вне контекста вещественного анализа понятие свойства, выполняющегося почти всюду, иногда определяется с помощью ультрафильтра. Ультрафильтр на множестве ${\displaystyle X}$ — это максимальное семейство ${\displaystyle F}$ подмножеств ${\displaystyle X}$, такое что:

1. Если ${\displaystyle U\in F}$ и ${\displaystyle U\subseteq V}$, то ${\displaystyle V\in F}$
2. Пересечение любых двух множеств из ${\displaystyle F}$ принадлежит ${\displaystyle F}$
3. Пустое множество не принадлежит ${\displaystyle F}$

Свойство ${\displaystyle P}$ точек множества ${\displaystyle X}$ выполняется почти всюду относительно ультрафильтра ${\displaystyle F}$, если множество точек, для которых ${\displaystyle P}$ выполняется, принадлежит ${\displaystyle F}$.

Например, одна из конструкций гипервещественных чисел определяет гипервещественное число как класс эквивалентности последовательностей, совпадающих почти всюду в смысле ультрафильтра.

Определение «почти всюду» через ультрафильтры тесно связано с определением через меру, поскольку каждый ультрафильтр определяет конечно-аддитивную меру, принимающую только значения 0 и 1, где множество имеет меру 1 тогда и только тогда, когда оно принадлежит ультрафильтру.