Замыкание (топология)

Замыка́ние — конструкция, дающая наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество топологического пространства.

Замыкание множества $S$ обычно обозначается ${\bar {S}}.$ Другие обозначения: $\operatorname {cl} (S),\operatorname {Cl} (S).$

Определения

Следующие два определения равносильны.

Как наименьшее замкнутое множество

Пусть $S$ есть подмножество топологического пространства $X.$ Замыканием $S$ в $X$ называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих $S.$

Замечание. Поскольку пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто, замыкание всегда замкнуто.

Через точки прикосновения

Точка $x$ топологического пространства $X$ называется точкой прикосновения множества $S,$ если любая окрестность $x$ содержит хотя бы одну точку множества $S.$

Множество всех точек прикосновения $S$ называется замыканием $S.$

Свойства

1. Замыкание множества замкнуто.
2. Замыкание множества содержит само множество, то есть

   $S\subseteq {\bar {S}}.$

3. Замыкание множества содержит все его предельные точки.
4. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть

   $S={\bar {S}}.$

5. Свойство идемпотентности: повторное применение операции замыкания не изменяет результат (что сразу вытекает из свойств 1 и 4):

   ${\bar {\bar {S}}}={\bar {S}}.$

6. Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть

   $(S\subset T)\Rightarrow ({\bar {S}}\subset {\bar {T}}).$

7. Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть

   ${\overline {S\cup T}}={\bar {S}}\cup {\bar {T}}.$

8. Замыкание пересечения является подмножеством пересечения замыканий, то есть

   ${\overline {S\cap T}}\subset {\bar {S}}\cap {\bar {T}}.$

Примеры

Во всех нижеследующих примерах топологическим пространством является числовая прямая $\mathbb {R}$ с заданной на ней стандартной топологией.

• ${\overline {(a,\;b)}}=[a,\;b];$
• ${\bar {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R} ,$ где $\mathbb {Q}$ — множество рациональных чисел.