Гиперметрическое пространство

Метрика — расстояние на множестве ${\displaystyle X}$ — определённая на декартовом произведении ${\displaystyle X\times X}$ функция ${\displaystyle \rho }$ с неотрицательными действительными значениями, удовлетворяющая при любых ${\displaystyle x,y\in X}$ условиям:

1. ${\displaystyle \rho (x,y)=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=y}$ (аксиома тождества);
2. ${\displaystyle \rho (x,y)+\rho (y,z)\geqslant \rho (x,z)}$ (аксиома треугольника);
3. ${\displaystyle \rho (x,y)=\rho (y,x)}$ (аксиома симметрии)^[1].

Метрическое пространство — это пара ${\displaystyle (X,\rho )}$, где ${\displaystyle X}$ — некоторое множество, а ${\displaystyle \rho }$ — заданная на нём метрика^[2].

${\displaystyle (2k+1)}$-гональное расстояние — расстояние ${\displaystyle d}$ на ${\displaystyle X}$, которое удовлетворяет ${\displaystyle (2k+1)}$-гональному неравенству: ${\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}b_{i}b_{j}d(x_{i},x_{j})\leq 0}$ для всех ${\displaystyle b\in \mathbb {Z} ^{n}}$ с ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{i}=1}$ и ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|b_{i}|=2k+1}$ и для всех различных элементов ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in X}$.

${\displaystyle (2k+1)}$-гональное неравенство с ${\displaystyle k=1}$ удовлетворяет аксиоме треугольника^[3].

Гиперметрикой называется расстояние ${\displaystyle d}$ на ${\displaystyle X}$, которое является ${\displaystyle (2k+1)}$-гональным для любого ${\displaystyle k\geqslant 1}$, то есть удовлетворяет гиперметрическому неравенству: ${\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}b_{i}b_{j}d(x_{i},x_{j})\leq 0}$ для всех ${\displaystyle b\in \mathbb {Z} ^{n}}$ с ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{i}=1}$ и для всех различных элементов ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in X}$.

Любая гиперметрика является полуметрикой и расстоянием отрицательного типа. Любая ${\displaystyle L_{1}}$-метрика является гиперметрикой^[3].

Гиперметрическое пространство — метрическое пространство, в котором выполнены гиперметрические неравенства:

${\displaystyle \sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot |x_{i}-x_{j}|\leq 0}$

для любых точек ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ и целых чисел ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ таких, что ${\displaystyle \sum b_{i}=1}$.^[4]

• ${\displaystyle \ell _{1}}$-пространство и его подпространства.
  • Любое 6-точечное гиперметрическое пространство вкладывается в ${\displaystyle \ell _{1}}$.
  • Существуют примеры 7-точечных гиперметрических пространств, которые не вкладываются в ${\displaystyle \ell _{1}}$. Такова, например, метрика на полном графе ${\displaystyle K_{7}}$ без двух смежных рёбер.

• Пусть ${\displaystyle Y}$ — семейство измеримых подмножеств пространства ${\displaystyle X}$ с мерой ${\displaystyle \mu }$. Если метрика на ${\displaystyle Y}$ задана как

  ${\displaystyle |A-B|_{Y}=\mu (A\triangle B)=\mu ((A\cup B)\setminus (A\cap B)),}$ то ${\displaystyle Y}$ является гиперметрическим пространством.