Производная Ли

Производная Ли тензорного поля $Q$ по направлению векторного поля $X$ — главная линейная часть приращения тензорного поля $Q$ при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем $X$.

Названа в честь норвежского математика Софуса Ли.

Обычно обозначается ${\mathcal {L}}_{X}Q$.

Определения

Аксиоматическое

Производная Ли полностью определяется следующими своими свойствами. Такое определение наиболее удобно для практических вычислений, но требует доказательства существования.

• Производная Ли ${\mathcal {L}}_{X}f$ от скалярного поля $f$ есть производная $f$ по направлению $X$.

  ${\mathcal {L}}_{X}f=Xf.$

• Производная Ли ${\mathcal {L}}_{X}Y$ от векторного поля $Y$ есть скобка Ли векторных полей. (Производная Ли от поля $Y$ по направлению поля $X$).

  ${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y].$

• Для произвольных векторных полей и 1-формы $\alpha$ выполняется равенство (тождество Картана)

  $({\mathcal {L}}_{X}\alpha )(Y)=(d\alpha )(X,Y)+Y\alpha (X).$

• (правило Лейбница) Для произвольных тензорных полей S и T выполняется

  ${\mathcal {L}}_{X}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{X}T).$

Через поток

Пусть $M$ — $n$-мерное гладкое многообразие и $X$ — векторное поле на $M$.

Рассмотрим поток $\Gamma _{X}^{t}\colon M\to M$ по $X$, определяемый соотношениями

${\frac {d}{dt}}\Gamma _{X}^{t}(p)=X_{\Gamma _{X}^{t}(p)},\Gamma _{X}^{0}(p)=p$.

Обратное отображение к дифференциалу $\Gamma _{X}^{t}$,

$(d_{p}\Gamma _{X}^{t})^{-1}\colon T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}\to T_{p}$

однозначно продолжается до гомоморфизма $h_{t}$ алгебры тензоров над $T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}$ в алгебру тензоров над $T_{p}$. Таким образом, произвольное тензорное поле $Q$ определяет однопараметрическое семейство полей $Q_{t}=h_{t}(Q)$. Производная Ли может быть определена как

${\mathcal {L}}_{X}Q={\frac {d}{dt}}Q_{t}|_{t=0}$

Выражения в координатах

${\mathcal {L}}_{\xi }f=\xi ^{k}\partial _{k}f,$

где $f$ — скаляр.

${\mathcal {L}}_{\xi }y=\xi ^{k}\partial _{k}y^{i}-y^{k}\partial _{k}\xi ^{i},$

где $y$ — вектор, а $y^{i}$ — его компоненты.

${\mathcal {L}}_{\xi }\omega =\xi ^{k}\partial _{k}\omega _{i}+\omega _{k}\partial _{i}\xi ^{k},$

где $\omega$ — 1-форма, а $\omega _{i}$ — её компоненты.

${\mathcal {L}}_{\xi }g=\xi ^{k}\partial _{k}g_{ij}+\partial _{i}\xi ^{k}g_{kj}+\partial _{j}\xi ^{k}g_{ik},$

где $g$ — метрический тензор, а $g_{ij}$ — его компоненты.

Производная Ли для тензорного поля в неголономном репере

Пусть тензорное поле К типа (p, q) задано в неголономном репере $\{e_{\alpha }\}$, тогда его производная Ли вдоль векторного поля Х задаётся следующей формулой:

$({\mathcal {L}}_{X}K)_{(\beta )}^{(\alpha )}=XK_{(\beta )}^{(\alpha )}-\{K_{(\beta )}^{(\alpha )}P_{*}^{*}\}$,

где $(\alpha )=(\alpha _{1}...\alpha _{p}),(\beta )=(\beta _{1}...\beta _{q})$ и введены следующие обозначения:

$\{K_{(\beta )}^{(\alpha )}P_{*}^{*}\}=\sum _{s=1}^{p}K_{(\beta )}^{\alpha _{1}...\sigma ...\alpha _{p}}P_{\sigma }^{\alpha _{s}}-\sum _{s=1}^{q}K_{\beta _{1}...\sigma ...\beta _{q}}^{(\alpha )}P_{\beta _{s}}^{\sigma }$,

$P_{\beta }^{\alpha }=e_{\beta }\xi ^{\alpha }-R_{\sigma \beta }^{\alpha }\xi ^{\sigma }$

$R_{\alpha \beta }^{\sigma }e_{\sigma }=[e_{\alpha },e_{\beta }]$ — объект неголономности.

Свойства

• ${\mathcal {L}}_{X}(s)$ $\mathbb {R}$-линейно по $X$ и по $s$. Здесь $s$ — произвольное тензорное поле.
• Производная Ли — дифференцирование на кольце тензорных полей.
• На супералгебре внешних форм производная Ли является дифференцированием и однородным оператором степени 0.
• Пусть $v$ и $u$ — векторные поля на многообразии, тогда $[{\mathcal {L}}_{v},{\mathcal {L}}_{u}]={\mathcal {L}}_{v}{\mathcal {L}}_{u}-{\mathcal {L}}_{u}{\mathcal {L}}_{v}$ есть дифференцирование алгебры $C^{\infty }(M)$, поэтому существует векторное поле $[v,u]$, для которого ${\mathcal {L}}_{[v,u]}=[{\mathcal {L}}_{v},{\mathcal {L}}_{u}]$. Это векторное поле называется скобкой Ли полей u и v (также их скобкой Пуассона или коммутатором).
• Формула гомотопии (тождество Картана):

  ${\mathcal {L}}_{v}\omega =i_{v}d\omega +di_{v}\omega .$

Здесь $\omega$ — дифференциальная $k$-форма, $i_{v}$ — оператор внутреннего дифференцирования форм, определяемый как $(i_{v}\omega )(X_{1},\dots ,X_{k-1})=\omega (v,X_{1},\dots ,X_{k-1})$.

• Как следствие, ${\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,\;\omega \in \Lambda ^{*}(M)$
• ${\mathcal {L}}_{X}(s)=\mathop {vpr} _{F}(Ts\circ X-X^{F}\circ s)$. Здесь $s$ — гладкое сечение (естественного) векторного расслоения $F$ (например, любое тензорное поле), $X^{F}$ — поднятие векторного поля $X$ на $F$, $\mathop {vpr} _{F}$ — оператор вертикального проектирования на $F$. (См. далее)

Физический смысл производной Ли

Пусть векторное поле $V(x,t)$ есть поле скоростей неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта, то есть в каждой точке пространства $x$ в каждый момент времени $t$ определена скорость координатных сеток этих систем относительно друг друга. Тогда производная Ли вдоль векторного поля $V(x,t)$ переносит производную по времени от каких-либо тензорных полей $Q(x,t)$ из неинерциальной системы отсчёта в инерциальную, тем самым определяя инвариантную производную по времени от тензорных полей.

Обобщения

Естественные расслоения

Пусть $F$ — естественное гладкое расслоение, то есть функтор, действующий из категории гладких многообразий в категорию расслоений над ними: $F\colon M\mapsto (F(M),M,\pi _{M}),\;\pi _{M}\colon F(M)\to M$. Произвольное векторное поле $X\in TM$ порождает однопараметрическую группу диффеморфизмов $\Gamma ^{t}:M\to M$, продолжающуюся с помощью $F$ на пространство расслоения $F(M)$, то есть $F(\Gamma ^{t}):F(M)\to F(M)$. Производная этой группы в нуле даёт векторное поле $X^{F}\in TF(M)$, являющееся продолжением $X$. Группа $F(\Gamma ^{t})$ также позволяет определить производную Ли по $X$ от произвольных сечений $s:M\to F(M)$ по такой же формуле, как и в классическом случае:

${\mathcal {L}}_{X}(s)=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}F(\Gamma ^{t})^{*}s=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}(F(\Gamma ^{-t})\circ s\circ \Gamma ^{t})$

${\mathcal {L}}_{X}(s)=Ts\circ X-X^{F}\circ s$

Отметим, что в общем случае производная Ли является элементом соответствующего вертикального расслоения $VF(M)$, то есть ядра отображения $T\pi _{M}:TF(M)\to TM$, так как $T\pi _{M}\circ {\mathcal {L}}_{X}(s)=0_{M}$. Если $F$ — векторное расслоение, то существует канонический изоморфизм $vl:F(M)\times _{M}F(M)\simeq VF(M)$. Оператор вертикального проектирования $vpr_{F}=\mathrm {pr} _{2}\circ vl^{-1}$ позволяет представить производную Ли как сечение исходного расслоения:

${\mathcal {L}}_{X}(s)=\mathop {vpr} _{F}(Ts\circ X-X^{F}\circ s)$

Производная Ли по формам

Другое обобщение основано на исследовании супералгебры Ли дифференцирований супералгебры внешних форм. Среди всех таких дифференцирований особенно выделяются так называемые алгебраические, то есть те, которые равны 0 на функциях. Любое такое дифференцирование имеет вид $i_{K}$, где $K\in TM\otimes \Lambda ^{*}(M)$ — тангенциальнозначная форма, а оператор внутреннего дифференцирования $i_{K}$ определяется по формуле $(\omega \in \Lambda ^{p+1}(M))$

$i_{K}\omega =\mathrm {Alt} (\omega \circ (K\otimes id^{\otimes p}))$

Здесь $\mathrm {Alt}$ — операция альтернирования отображения по всем переменным. Производная Ли по векторнозначной форме $K$ определяется через суперкоммутатор операторов:

${\mathcal {L}}_{K}=[i_{K},d]$

Её значение определяется тем, что любое дифференцирование $D$ супералгебры $\Lambda ^{*}(M)$ однозначно представимо в виде $D={\mathcal {L}}_{K}+i_{S}$, где $K$, $S$ — некоторые векторнозначные формы. Кроме того, по формуле $[{\mathcal {L}}_{K},{\mathcal {L}}_{S}]={\mathcal {L}}_{[K,S]}$ можно ввести скобку Фролиха-Ниенхойса тангенциальнозначных форм.

Литература

• Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. — 1981. — Т. 1. — 344 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е, перераб. — М.: Наука, 1986. — Т. 1. — 760 с.
• Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Natural operations in differential geometry. — 1-е изд. — Springer, 1993. — 434 с. — ISBN 978-3540562351. Архивная копия от 30 марта 2017 на Wayback Machine

См. также

• Поле Киллинга