Первая теорема о среднем

Из неравенства ${\displaystyle m\leq f(x)\leq M}$ по свойству монотонности интеграла имеем

${\displaystyle m(b-a)\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)}$.

Обозначив ${\displaystyle \mu ={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx}$, получим требуемое утверждение. Так определённое число ${\displaystyle \mu }$ называют средним значением функции ${\displaystyle f(x)}$ на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$, откуда и название теоремы^[2].

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на ${\displaystyle [a;b]}$, то в качестве ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle M}$ можно взять её наибольшее и наименьшее значения (которые, по теореме Вейерштрасса, достигаются), тогда по теореме о промежуточном значении существует такая точка ${\displaystyle c\in [a;b]}$, что ${\displaystyle f(c)=\mu }$, поэтому утверждение теоремы можно переписать в виде

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)}$.

Если воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, то это равенство запишется как

${\displaystyle F(b)-F(a)=F'(c)\;(b-a)}$,

где ${\displaystyle F(x)}$ — первообразная функции ${\displaystyle f(x)}$, что есть не что иное, как формула Лагранжа для функции ${\displaystyle F(x)}$^[2].

Пусть ${\displaystyle g(x)}$ неотрицательна, тогда имеем

${\displaystyle mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)}$,

откуда, ввиду монотонности интеграла

${\displaystyle m\int \limits _{a}^{b}g(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq M\int \limits _{a}^{b}g(x)dx}$.

Если ${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)dx=0}$, то из этого неравенства следует, что ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0}$, и утверждение теоремы выполняется при любом ${\displaystyle \mu }$. В противном случае положим

${\displaystyle \mu ={\frac {\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx}{\int \limits _{a}^{b}g(x)dx}}}$.

Обобщение доказано^[2]. Если функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна, можно утверждать, что существует точка ${\displaystyle c\in [a;b]}$ такая, что

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int \limits _{a}^{b}g(x)dx}$

(аналогично предыдущему).