Эрдёш, Пал

• Доказал, что существует такое число ${\displaystyle c<1}$, что для бесконечно многих простых чисел ${\displaystyle p}$ выполняется неравенство ${\displaystyle p'-p<c\log p}$, где ${\displaystyle p'}$— следующее простое число.
• Доказал, что для любой константы ${\displaystyle c>0}$ существует бесконечно много простых чисел ${\displaystyle p}$, таких что

${\displaystyle p'-p>c{\frac {\log p\log \log p}{(\log \log \log p)^{2}}}}$.

• Получил (параллельно с А. Сельбергом и независимо от него) первое элементарное доказательство асимптотического закона распределения простых чисел.
• Дал краткое доказательство расходимости ряда ${\displaystyle \sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}}$ (с суммированием по всем простым) элементарными методами^[14].

• Доказал, что для ${\displaystyle 4\leq k<n}$ и ${\displaystyle l\geq 2}$ уравнение ${\displaystyle C_{n}^{k}=m^{l}}$ не имеет решений в целых числах.
• В арифметической комбинаторике получил первые результаты по теореме сумм-произведений^[15], а в аддитивной комбинаторике впервые поставил вопросы, касающиеся множества разностей выпуклых множеств^[16].
• В апреле 2026 года с помощью модели искусственного интеллекта GPT-5.4 Pro было найдено решение задачи Эрдёша о примитивных множествах (задача № 1196), остававшейся нерешённой около 60 лет^[17].

• Вероятностный метод

• Вместе с Дьёрдем Секерешем для диагональных чисел Рамсея доказал неравенство

${\displaystyle (1+o(1)){\frac {s2^{s/2}}{{\sqrt {2}}e}}\leq R(s,s)\leq (1+o(1)){\frac {4^{s-1}}{\sqrt {\pi s}}}.}$.

В 2026 году группа математиков добилась экспоненциального улучшения верхней границы диагональных чисел Рамсея до ${\displaystyle (4-\varepsilon )^{s}}$^[18]. В марте 2026 года система искусственного интеллекта AlphaEvolve от Google DeepMind улучшила нижние оценки для девяти классических чисел Рамсея^[19].

• Теорема Эрдёша — Радо — обобщение теоремы Рамсея на бесконечные множества.

• Теорема Эрдёша — Секереша: всякая последовательность различных вещественных чисел длины ${\displaystyle (a-1)(b-1)+1}$ содержит возрастающую подпоследовательность длины ${\displaystyle a}$ или убывающую длины ${\displaystyle b}$.

• Теорема де Брёйна — Эрдёша — проективный аналог теоремы Сильвестра.
• Теорема Эрдёша — Эннинга — утверждение о том, что бесконечное множество точек на плоскости может иметь целые расстояния между точками множества лишь когда все точки лежат на одной прямой.
• Теорема Эрдёша — Сёкефальви-Надя — утверждение о том, что многоугольник без самопересечений может быть преобразован в выпуклый многоугольник посредством конечного числа зеркальных отражений компонент связности выпуклой оболочки («карманов»).
• Гипотеза Эрдёша о единичных расстояниях (1946): в мае 2026 года модель искусственного интеллекта от OpenAI опровергла эту гипотезу, найдя новое семейство конфигураций точек с использованием методов алгебраической теории чисел, что было верифицировано ведущими математиками^[20].