Родился в деревне Лутра-Иреас в области Аркадия. Во время оккупации Греции его семья жила в Пелопоннесе, а после войны перебралась в Афины. В период второй мировой войны отец Гавраса являлся членом левого крыла Национально-освободительного фронта Греции, а после войны он был арестован по подозрению в симпатиях к коммунизму. Семья Гавраса была вынуждена покинуть Грецию. Коста-Гаврас окончил среднюю школу во Франции и в 1951 году начал изучать право в Сорбонне, но в 1956 году бросил университет и ушёл в кинематограф. Высшее кинематографическое образование получил в институте ИДЕК в Париже. Был ассистентом режиссёров Р. Клера, А. Вернёя, Ж. Деми, Р. Клемана. Воспитан на русской культуре и литературе, кино, на русской национальной музыке[2].
В 1965 дебютировал как режиссёр экранизации детектива Себастьяна Жапризо «Убийцы в спальных вагонах» с Ивом Монтаном в главной роли. Напряжённая детективно-криминальная интрига присутствует в большинстве других фильмов Косты-Гавраса, основанных на документальных материалах и политически ангажированных. Но режиссёру важен не столько политический аспект событий, сколько гуманитарный пафос, интересен человек, сталкивающийся с проявлениями тоталитарной власти, как бы она ни называлась — режим «чёрных полковников», гитлеровский фашизм, сталинский социализм, латиноамериканская хунта. Гаврас показывает как история, политика, общество, институты власти, партии влияют на судьбу частного человека. Будучи гражданином мира и снимая кино в разных странах, Коста-Гаврас получил признание как космополитический в лучшем смысле слова, истинно гуманистический художник, которого волнует глобальная борьба добра со злом, а не одни лишь политические страсти.
Награда ООН за фильм «Осадное положение», а также номинация на премию BAFTA за лучшую музыку (Микис Теодоракис), номинация на премию «Золотой глобус» за лучший зарубежный фильм, вторая премия Нью-Йоркского общества кинокритиков в категориях «лучший режиссёр» (Коста-Гаврас) и «лучший сценарий» (Франко Солинас), а также третья премия в категории «лучший фильм» — 1974 год.