Двойственное пространство

Понятие линейной формы по существу появляется уже в «Учении о протяжении» Германа Грассмана: во втором издании 1862 года он ввёл «обратную систему» (нем. reziprokes System) векторов, биортогональную заданной системе, — прямой предшественник двойственного базиса^[4]. Джузеппе Пеано в «Геометрическом исчислении» (1888), содержащем первую аксиоматику линейных пространств, систематически пользовался линейными формами^[5]. В тензорном исчислении Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивиты (1900) линейные формы выступают как ковариантные векторы — ковекторы^[6].

Как самостоятельный объект исследования двойственное пространство оформилось на рубеже XIX—XX веков в рамках зарождавшегося функционального анализа. Термин «функционал» — для функции, сопоставляющей другой функции число, — ввёл Жак Адамар в 1903 году^[7]. Ключевые результаты о строении двойственных пространств получил Фридеш Рис: в 1909 году он описал общий вид непрерывного линейного функционала на ${\displaystyle C[a,b]}$ как интеграл Стилтьеса^[8], а в 1911 году установил двойственность ${\displaystyle (L^{p})'=L^{q}}$, ставшую образцом всех последующих теорем о «вычислении» двойственных пространств^[9].

Теорема о продолжении функционалов — теорема Хана — Банаха — в частной форме встречается уже у Эдуарда Хелли (1912)^[10]; в полной общности её независимо доказали Ганс Ган (1927)^[11] и Стефан Банах (1929)^[12]. Монография Банаха «Теория линейных операций» (1932) систематизировала теорию сопряжённых пространств, слабой сходимости и сопряжённых операторов; в ней для сепарабельного случая была получена и слабая компактность шара двойственного пространства^[13]. Общий факт — теорема Банаха — Алаоглу — доказал в 1940 году Леонидас Алаоглу, опираясь на теорему Тихонова о компактности произведения компактных пространств^[14][15].

В дальнейшем двойственность стала каркасом всей функциональной теории. Группа Бурбаки в 1950-е годы построила общую теорию локально выпуклых пространств и топологий, согласованных с двойственностью^[16]. Лоран Шварц в 1945—1951 годах создал теорию распределений, в которой пространства обобщённых функций по определению двойственны пространствам основных (пробных) функций, — цикл работ принёс ему Филдсовскую премию 1950 года^[17]. В квантовой механике формализм бра- и кет-векторов Поля Дирака (1930) явно противопоставляет векторы состояний элементам двойственного пространства^[18], а Леонид Канторович (1939) заложил линейное программирование, где двойственные переменные — «объективно обусловленные оценки» — имеют прямой экономический смысл^[19]. Развитие идей двойственности в этот период подробно описано в историческом обзоре Дьёдонне^[20].

Пусть ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ — базис конечномерного пространства ${\displaystyle V}$. Функционалы ${\displaystyle e^{1},\ldots ,e^{n}}$, определяемые правилом

${\displaystyle e^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}}$  (символ Кронекера),

образуют базис пространства ${\displaystyle V^{*}}$, называемый двойственным (или взаимным) базисом; в частности,

${\displaystyle \dim V^{*}=\dim V}$^[22].

Каждый функционал разлагается по двойственному базису в виде ${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}f(e_{i})\,e^{i}}$, а если ${\displaystyle x=\sum _{j=1}^{n}x^{j}e_{j}}$, то

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}x^{i},\qquad c_{i}=f(e_{i})}$,

то есть значение функционала — «скалярное произведение» строки коэффициентов функционала на столбец координат вектора. Билинейное отображение ${\displaystyle (f,x)\mapsto f(x)}$ называют спариванием пространств ${\displaystyle V^{*}}$ и ${\displaystyle V}$^[24][25].

Например, для косоугольного базиса ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}=(1,\,0)}$, ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}=(1,\,1)}$ пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ двойственный базис образуют функционалы ${\displaystyle e^{1}(x,y)=x-y}$ и ${\displaystyle e^{2}(x,y)=y}$: каждый из них извлекает «свою» координату вектора в этом базисе. Так, вектор ${\displaystyle {\vec {v}}=(4,3)=1\cdot {\vec {e}}_{1}+3\cdot {\vec {e}}_{2}}$ имеет координаты ${\displaystyle (1,3)}$, и непосредственно ${\displaystyle e^{1}({\vec {v}})=4-3=1}$, ${\displaystyle e^{2}({\vec {v}})=3}$ (см. рисунок).

В бесконечномерном пространстве координатные функционалы, отвечающие базису Гамеля, линейно независимы, но базиса двойственного пространства уже не образуют: конечная линейная комбинация координатных функционалов зависит лишь от конечного числа координат, тогда как линейный функционал может зависеть от всех координат сразу. Поэтому для бесконечномерного ${\displaystyle V}$ размерность алгебраического двойственного пространства строго больше размерности ${\displaystyle V}$.

== Аннулятор ==> С каждым подпространством ${\displaystyle U\subset V}$ связано подпространство двойственного пространства — аннулятор

${\displaystyle U^{0}=\{\,f\in V^{*}\colon \ f(u)=0\ \forall u\in U\,\}}$ —

множество функционалов, обращающихся в нуль на всём ${\displaystyle U}$. В конечномерном случае

${\displaystyle \dim U+\dim U^{0}=\dim V}$;

соответствие ${\displaystyle U\mapsto U^{0}}$ взаимно однозначно и обращает включения: из ${\displaystyle U_{1}\subset U_{2}}$ следует ${\displaystyle U_{2}^{0}\subset U_{1}^{0}}$; при каноническом отождествлении ${\displaystyle V\cong V^{**}}$ справедливо ${\displaystyle (U^{0})^{0}=U}$. Выполняются также соотношения

${\displaystyle (U+W)^{0}=U^{0}\cap W^{0},\qquad (U\cap W)^{0}=U^{0}+W^{0}}$^[1][26][27].

Через аннулятор описывается связь гиперплоскостей и функционалов: все гиперплоскости, параллельные данной, — это множества уровня ${\displaystyle f^{-1}(c)}$ одного и того же, определённого с точностью до пропорциональности функционала ${\displaystyle f}$, причём ${\displaystyle \ker f}$ — параллельная им гиперплоскость, проходящая через ноль (см. рисунок). Понятие аннулятора является частным случаем более общего понятия полярного множества, определённого для произвольных подмножеств в контексте локально выпуклых пространств.

Каждый линейный оператор ${\displaystyle A\colon V\to W}$ порождает сопряжённый (двойственный) оператор ${\displaystyle A^{*}\colon W^{*}\to V^{*}}$, действующий «в обратную сторону» по правилу

${\displaystyle (A^{*}f)(v)=f(Av),\qquad f\in W^{*},\ v\in V}$,

то есть ${\displaystyle A^{*}f=f\circ A}$ (см. рисунок). В базисах, двойственных к фиксированным базисам пространств ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$, матрица сопряжённого оператора — транспонированная матрица оператора ${\displaystyle A}$ (в комплексном случае с комплексного сопряжения — сопряжённо-транспонированная матрица)^[22]. Основные свойства:

${\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*},\qquad (\lambda A)^{*}=\lambda \,A^{*},\qquad (AB)^{*}=B^{*}A^{*},\qquad \|A^{*}\|=\|A\|}$;

в конечномерном случае ${\displaystyle \ker A^{*}=(\operatorname {im} A)^{0}}$ и ${\displaystyle \operatorname {rank} A^{*}=\operatorname {rank} A}$. Сопряжённый оператор — базовый инструмент спектральной теории; в гильбертовых пространствах с его помощью определяются самосопряжённые, нормальные и унитарные операторы^[36][37].

1. Арифметическое пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Функционал ${\displaystyle f(x,y)=3x-5y}$ принимает в точке ${\displaystyle P=(2,1)}$ значение ${\displaystyle f(P)=1}$; его линии уровня — параллельные прямые ${\displaystyle 3x-5y=c}$, ядро — прямая ${\displaystyle 3x-5y=0}$. Относительно евклидовой нормы ${\displaystyle \|f\|={\sqrt {3^{2}+(-5)^{2}}}={\sqrt {34}}\approx 5{,}831}$, представляющий вектор (по теореме Рисса) — ${\displaystyle (3,-5)}$.
2. Пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Для ${\displaystyle f(x)=3x_{1}-5x_{2}+2x_{3}}$ ядро — плоскость ${\displaystyle 3x_{1}-5x_{2}+2x_{3}=0}$, а ${\displaystyle \|f\|={\sqrt {38}}\approx 6{,}164}$. Аннулятор плоскости ${\displaystyle U=\{x\colon x_{3}=0\}}$ состоит из функционалов, пропорциональных третьей координате: ${\displaystyle U^{0}=\{f\colon f(x)=c\,x_{3}\}}$ — «прямая» в ${\displaystyle V^{*}}$, и ${\displaystyle \dim U+\dim U^{0}=2+1=3}$.
3. Многочлены. На пространстве ${\displaystyle P_{2}}$ многочленов степени не выше 2 функционал «значение в точке» ${\displaystyle \delta _{a}(p)=p(a)}$ линеен. Если ${\displaystyle e^{0},e^{1},e^{2}}$ — функционалы извлечения коэффициентов при ${\displaystyle 1,t,t^{2}}$, то ${\displaystyle \delta _{a}=e^{0}+a\,e^{1}+a^{2}e^{2}}$. Многочлены Лагранжа ${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2},\ell _{3}}$, построенные по трём узлам, удовлетворяют условиям ${\displaystyle \delta _{j}(\ell _{i})=\delta _{ij}}$, то есть образуют базис ${\displaystyle P_{2}}$, двойственный к базису ${\displaystyle \{\delta _{j}\}}$ узловых функционалов — в этом и состоит интерполяционная формула Лагранжа^[22].
4. Пространство ${\displaystyle \ell ^{2}}$. Функционал ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}/n}$ корректно определён по неравенству Коши — Буняковского, поскольку ${\displaystyle (1/n)\in \ell ^{2}}$; его норма ${\displaystyle \|f\|=\|(1/n)\|_{2}={\sqrt {\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }1/n^{2}}}=\pi /{\sqrt {6}}\approx 1{,}283}$ (эйлерова сумма обратных квадратов). По теореме Рисса о представлении всякий функционал на ${\displaystyle \ell ^{2}}$ имеет вид ${\displaystyle f(x)=\sum _{n}x_{n}y_{n}}$ с некоторым ${\displaystyle y\in \ell ^{2}}$.
5. Пространство ${\displaystyle C[0,1]}$. Интеграл ${\displaystyle I(x)=\int _{0}^{1}x(t)\,dt}$ — непрерывный линейный функционал с ${\displaystyle \|I\|=1}$; отвечающая ему по теореме Рисса мера — мера Лебега. Функционал «значение в точке» ${\displaystyle \delta _{t}(x)=x(t)}$ также ограничен (${\displaystyle \|\delta _{t}\|=1}$), хотя не задаётся плотностью; предельные переходы по таким функционалам приводят к понятию дельта-функции^[17].
6. Гильбертово пространство ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$. Функционал ${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{1}x(t)\sin(2\pi t)\,dt}$ задаётся функцией ${\displaystyle y(t)=\sin 2\pi t}$: ${\displaystyle f(x)=\langle x,y\rangle }$, и ${\displaystyle \|f\|=\|y\|_{2}=1/{\sqrt {2}}\approx 0{,}707}$^[38].
7. Конечные последовательности. Пространство ${\displaystyle c_{00}}$ финитных последовательностей имеет счётную размерность, однако его алгебраически двойственное пространство несчётномерно; более того, оно изоморфно пространству всех числовых последовательностей ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$, размерность которого — континуум. Каноническое вложение ${\displaystyle c_{00}\to c_{00}^{**}}$ не сюръективно, и это простейший пример различия между пространством и его вторым двойственным^[1].
8. Котангенсное пространство. В каждой точке ${\displaystyle p}$ гладкого многообразия касательному пространству ${\displaystyle T_{p}M}$ отвечает двойственное котангенсное ${\displaystyle T_{p}^{*}M}$; дифференциал функции ${\displaystyle f}$ в точке — ковектор ${\displaystyle df_{p}\in T_{p}^{*}M}$, действующий на вектор скорости ${\displaystyle \xi }$ по правилу ${\displaystyle df_{p}(\xi )=\xi (f)}$ — скорость изменения ${\displaystyle f}$ вдоль кривой^[6].

• Уравнения с частными производными и функциональный анализ. Слабые решения краевых задач строятся в пространствах, двойственных к пространствам пробных функций; теоремы существования опираются на слабую компактность (теорема Банаха — Алаоглу) и теорему Банаха — Штейнгауза^[3][33].
• Теория обобщённых функций. Пространства распределений ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}$ и ${\displaystyle {\mathcal {S}}'}$ по определению двойственны пространствам основных функций ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ и ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$; дельта-функция Дирака — функционал «значение в точке»^[17].
• Вариационные методы и метод конечных элементов. Смешанные формулировки краевых задач и множители Лагранжа являются элементами двойственных пространств; апостериорные оценки погрешности используют норму остаточной невязки в пространстве, двойственном к энергетическому^[39].
• Математическая оптимизация. Двойственность Лагранжа, двойственные задачи линейного программирования, условия Каруша — Куна — Таккера; двойственные переменные интерпретируются как теневые цены (в работах Канторовича — объективно обусловленные оценки)^[40][19].
• Квантовая механика. Бра-векторы ${\displaystyle \langle \varphi |}$ отвечают линейным функционалам на пространстве состояний; матричные элементы и средние значения наблюдаемых — значения таких функционалов^[18][33].
• Теория кодирования. Двойственный код — подпространство, ортогональное исходному коду; весовое распределение двойственного кода связано с исходным соотношениями Мак-Вильямс^[41].
• Выпуклый анализ и геометрия. Двойственное проективное пространство составлено из гиперплоскостей исходного; полярная двойность, двойственные конусы и опорные функции — основной аппарат выпуклой геометрии и оптимизации^[40].
• Машинное обучение и теория ядер. В методах опорных векторов (SVM) и теории воспроизводящих гильбертовых пространств (RKHS) двойственность играет ключевую роль. Задача оптимизации решается в двойственной форме, где переменными становятся коэффициенты разложения разделяющей гиперплоскости по опорным векторам, а скалярные произведения заменяются на ядерные функции (kernel trick), что по сути является вычислением спаривания в скрытом двойственном пространстве признаков^[42].
• Вычислительная линейная алгебра. Транспонированная матрица — матрица сопряжённого оператора в двойственных базисах; биортогональные (двойственные) базисы применяются в несимметричных итерационных методах и при построении сплайнов^[22].