Ядро (алгебра)

Ядро в алгебре — характеристика отображения $\ f:A\rightarrow B$, обозначаемая $\ker \,f$, отражающая отличие $f$ от инъективного отображения, обычно — множество прообразов некоторого фиксированного (нулевого, единичного, нейтрального) элемента $e$. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения $f$ множество $\ker \,f$ всегда должно быть тривиально, то есть состоять из одного элемента (как правило, нейтрального элемента из $A$).

Если множества $A$ и $B$ обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то $\ker \,f$ также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ $\mathrm {Im} \,f$ и фактормножество $A/\ker \,f$.

Ядро линейного отображения

Ядром линейного отображения $f:\,V\to U$ называется прообраз нулевого элемента пространства $U$:

$\ker f=\{x\in V:f(x)=0\}.$

$\ker f$ является подпространством в $V$. Оно всегда содержит нулевой элемент пространства $V$. Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ $f$ изоморфен факторпространству $V$ по ядру $f$:

$\mathrm {Im} \,f\simeq V/\ker f.$

Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность $V$ конечна:

$\dim \mathrm {Im} \,f=\dim V-\dim \ker f,$

а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:

$f^{-1}(u)=v_{0}+\ker f,~~~f(v_{0})=u,~~~v_{0}\in V,~u\in U.$

Всякий базис ядра называется фундаментальной системой решений.

Теория матриц

Любую прямоугольную матрицу $G$ размера $m\times n$, содержащую элементы поля $K$ (в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор $g:\mathbb {K} ^{n}\rightarrow \mathbb {K} ^{m}$ умножения векторов слева на матрицу:

$g(v)=Gv,~~~v\in \mathbb {K} ^{n}$

Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с $n$ неизвестными

$\left\{{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1};\\\ldots ~~\ldots ~~\ldots ~~\\a_{m1}x_{1}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}.\end{matrix}}\right.$

можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора $\mathbf {b} =(b_{1},\;\ldots ,\;b_{m})$, а задача о решении однородной системы уравнений ($\mathbf {b} =\mathbf {0}$) сводится к поиску ядра отображения $g$.

Пример

Пусть $f$ будет линейным отображением $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ и:

$f({\vec {x}})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\0\end{pmatrix}}.$

Тогда его ядро является векторным подпространством:

$\ker f=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid \lambda \in \mathbb {R} \right\}.$

Гомоморфизм групп

Если $f$ — гомоморфизм между группами, то $\ker f$ образует нормальную подгруппу $A$.

Гомоморфизм колец

Если $f$ — гомоморфизм между кольцами, то $\ker f$ образует идеал кольца $A$.

См. также

• Коядро

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.