Неравенство Коши — Буняковского

Пусть дано линейное пространство ${\displaystyle L}$ со скалярным произведением ${\displaystyle \langle x,\;y\rangle }$. Пусть ${\displaystyle \|x\|}$ — норма, порождённая скалярным произведением, то есть ${\displaystyle \|x\|\equiv {\sqrt {\langle x,\;x\rangle }},\;\forall x\in L}$. Тогда для любых ${\displaystyle x,\;y\in L}$ имеем:

${\displaystyle |\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|,}$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ линейно зависимы (коллинеарны, или среди них есть нулевой).

• Важным частным случаем, часто использующимся в теории чисел, является случай, когда один из векторов полностью состоит из единиц:

${\displaystyle \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{1}}\right)\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}=n\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}$

• В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей ${\displaystyle l^{2}}$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

${\displaystyle \left|\sum \limits _{k=1}^{\infty }x_{k}{\bar {y}}_{k}\right|^{2}\leqslant \left(\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{2}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{2}\right),}$

где ${\displaystyle {\bar {y}}_{k}}$ обозначает комплексное сопряжение ${\displaystyle y_{k}}$.

• В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций ${\displaystyle L^{2}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

${\displaystyle \left|\int \limits _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mu (dx)\right|^{2}\leqslant \left(\int \limits _{X}\left|f(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right)\cdot \left(\int \limits _{X}\left|g(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right).}$

• В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )}$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

  ${\displaystyle \mathrm {cov} ^{2}(X,\;Y)\leqslant \mathrm {D} [X]\cdot \mathrm {D} [Y],}$

где ${\displaystyle \mathrm {cov} }$ обозначает ковариацию, а ${\displaystyle \mathrm {D} }$ — дисперсию.

• Для двух случайных величин ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

  ${\displaystyle \left[\mathbf {M} (\eta \cdot \xi )\right]^{2}\leqslant \mathbf {M} \eta ^{2}\cdot \mathbf {M} \xi ^{2}.}$

Существует лишь несколько сущностно различных подходов к доказательству неравенства. Однако, ввиду его универсальности, одни и те же приводящие к нему формальные операции можно описывать в разных терминах. Из-за этого некоторые авторы представляют неравенство как имеющее чрезвычайно много доказательств.^[3]

Для удобства изложения в данном разделе, когда не указано иное, описываются доказательства только для пространства конечной размерности над ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то есть для конечных последовательностей ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$, ${\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{n})}$.

Пусть ${\displaystyle y_{1}=\dots =y_{n}=1}$. Раскрывая квадрат и делая замену ${\displaystyle t=i-j}$, квадрат суммы можно разбить на блоки следующим образом:

${\displaystyle {\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}\right)}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{i}x_{j}}=\sum \limits _{t=0}^{n-1}{\left({\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}x_{j+t}}}\right)}\ ,}$

где обозначения ${\displaystyle x_{n+1},x_{n+2},\dots }$ соответствуют ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$. Из перестановочного неравенства для двух копий последовательности ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ и перестановок

${\displaystyle \sigma _{t}(j):=((t+j-1)\mod {n})+1,\ \ \ t=0,\dots ,n-1}$

следует, что каждая из внутренних сумм не превышает ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}$.

Если все ${\displaystyle y_{i}}$ – целые, то, раскрывая произведения ${\displaystyle x_{i}y_{i}=\underbrace {x_{i}+\dots +x_{i}} _{y_{i}}}$ и применяя уже доказанный частный случай для получившихся ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}$ слагаемых, получим

${\displaystyle \left(\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}\right)^{2}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\underbrace {x_{i}+\dots +x_{i}} _{y_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\underbrace {x_{i}^{2}+\dots +x_{i}^{2}} _{y_{i}}}}\right)=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ ,}$

Делением обоих частей на целые числа можно получить то же неравенство для рациональных ${\displaystyle y_{i}}$, а из непрерывности сложения и умножения следует и обобщение для произвольных вещественных ${\displaystyle y_{i}}$. Это утверждение в точности соответствует неравенству Коши-Буняковского для последовательностей

${\displaystyle {x'}_{i}:=x_{i}{\sqrt {y_{i}}}}$

${\displaystyle {y'}_{i}:={\sqrt {y_{i}}}}$.

Поэтому неравенство для произвольных ${\displaystyle ({x'}_{i})_{i=1}^{n}}$, ${\displaystyle ({y'}_{i})_{i=1}^{n}}$ следует из возможности обратной замены

${\displaystyle x_{i}:={\frac {{x'}_{i}}{{y'}_{i}}}}$

${\displaystyle y_{i}:={y'}_{i}^{2}}$.

Самая известная реализация этого метода – рассмотрение дисперсии случайной величины. Очевидно, что если величина принимает неотрицательные значения, то её математическое ожидание также будет неотрицательно, поэтому

${\displaystyle \mathbb {E} \left[{({X-\mathbb {E} [X]})^{2}}\right]\geq 0}$

для любой случайной величины ${\displaystyle X}$. Благодаря линейности математического ожидания из этого следует, что

${\displaystyle 0\leq \mathbb {E} \left[{(X-\mathbb {E} [X])^{2}}\right]=\mathbb {E} \left[{X^{2}-2X\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}}\right]=\mathbb {E} [X^{2}]-2\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}}$

Пусть все ${\displaystyle y_{i}>0}$ и ${\displaystyle B:=\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}$. Для случайной величины ${\displaystyle X}$, которая принимает значение ${\displaystyle x_{i}}$ с вероятностью ${\displaystyle {\frac {y_{i}}{B}}}$, это неравенство означает, что

${\displaystyle \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}{\frac {y_{i}}{B}}}}\right)^{2}=\mathbb {E} [X]^{2}\leq \mathbb {E} [X^{2}]=\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}{\frac {y_{i}}{B}}}\ ,}$

то есть

${\displaystyle \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}\right)\leq B\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ .}$

Отсюда неравенство Коши-Буняковского можно получить той же заменой переменных, что и в случае с применением перестановочного неравенства.

После замены переменных математическое ожидание описанной выше величины будет иметь вид

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i=1}^{n}{{\frac {x_{i}}{y_{i}}}\cdot {\frac {y_{i}^{2}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .}$

Поэтому вероятностное доказательство, в сущности рассматривает сумму

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\left({{\frac {x_{i}}{y_{i}}}-\sum \limits _{j=1}^{n}{\left({{\frac {x_{j}}{y_{j}}}\cdot {\frac {y_{j}^{2}}{\sum \limits _{k=1}^{n}{y_{k}^{2}}}}}\right)}}\right)^{2}{\frac {y_{i}^{2}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .}$

Из очевидной (ввиду возведения скобки в квадрат) неотрицательности этой суммы выводится соотношение между слагаемыми, получающимися при раскрытии скобки – двое из трёх таких слагаемых сокращаются в одно (различаются лишь на константу) за счёт структуры формулы. Изменяя нормировку (деление на суммы) с помощью внесения множителей под скобки и домножения константы, легко увидеть, что такой подход аналогичен использованию более наглядной суммы

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{{\left({{\frac {x_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}y_{j}}}}-{\frac {y_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\right)}^{2}}\ .}$

Неравенства с такими суммами, записанные без привязки к вероятностным определениям, остаются корректным и без условия ${\displaystyle y_{i}>0}$ из предыдущего раздела. В частности, для произвольного гильбертова пространства при ${\displaystyle \langle {x,y}\rangle \in \mathbb {R} }$ можно рассмотреть неравенство

${\displaystyle 0\leq \left\vert \left\vert {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{||x||^{2}}}x}\right\vert \right\vert ^{2}\leq \left\langle {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x,y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x}\right\rangle =\langle {y,y}\rangle -2{\frac {\langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}\langle {x,y}\rangle +{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2}}{\langle {x,x}\rangle ^{2}}}\langle {x,x}\rangle =\langle {y,y}\rangle -{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2}}{\langle {x,x}\rangle }}\ ,}$

а при ${\displaystyle \langle {x,y}\rangle \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} }$ достаточно домножить ${\displaystyle x}$ на комплексное число вида ${\displaystyle e^{\varphi i},\varphi \in \mathbb {R} }$ чтобы свести всё к первому случаю.

Аналогичным способом можно использовать другую, симметричную, сумму, где после раскрытия скобки сокращаются два крайних слагаемых (полученные возведением в квадрат), а не крайнее с центральным:

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{{\left({{\frac {x_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}^{2}}}}}-{\frac {y_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}}\right)}^{2}}\ .}$

или, что то же самое,

${\displaystyle \left\vert \left\vert {{\frac {x}{||x||}}-{\frac {y}{||y||}}}\right\vert \right\vert ^{2}\ .}$

Кроме вероятностной интерпретации, использование таких сумм может быть описано через оценку дискриминанта квадратного уравнения или неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим.^[4]

Ещё одна (впрочем, нуждающаяся в инструментарии двух предыдущих) идея состоит в представлении неравенства в виде

${\displaystyle \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}y_{j}}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j})(x_{j}y_{i})}\leq \sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j})^{2}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}\right)\left({\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}\right)\ .}$

Такую форму можно доказать двумя способами:

• сравнивав все слагаемые за один шаг, применив перестановочное неравенство для двух копий набора ${\displaystyle (x_{i}y_{j})_{(i,j)\in [1;n]^{2}}}$ и перестановки ${\displaystyle \sigma (i,j):=(j,i)}$^[5];

• сравнивая каждое слагаемое отдельно, применяя неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим для двух переменных ${\displaystyle a=x_{i}y_{j},\ b=x_{j}y_{i}}$, что по сути соответствует рассмотрению суммы квадратов вида ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}}}$ или нормы соответствующего вектора в тензорном произведении произвольных гильбертовых пространств.^[6]

Неравенство можно получить с помощью индукции, шагом которой для перехода от ${\displaystyle n}$ к ${\displaystyle (n+1)}$-ому слагаемому будет применение того же неравенства для двух слагаемых. Предположение индукции для последовательностей ${\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{n}}$, ${\displaystyle (y_{i})_{i=1}^{n}}$ даёт неравенство

${\displaystyle \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {red}{x_{i}}\color {blue}{y_{i}}}}\right)+x_{n+1}y_{n+1}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {red}{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {blue}{y_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}+x_{n+1}y_{n+1}}$

А из случая ${\displaystyle n=2}$ для последовательностей ${\displaystyle \left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}},x_{n+1}}\right)}$, ${\displaystyle \left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}},y_{n+1}}\right)}$ легко видеть, что

${\displaystyle {\color {red}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}}{\color {blue}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}}+{\color {red}{x_{n+1}}\color {blue}{y_{n+1}}}\leq \left({{\color {red}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\color {black}{\cdot 2}}}}+{\color {red}{x_{n+1}}^{2}}}\right)\left({{\color {blue}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\color {black}{\cdot 2}}}}+{\color {blue}{y_{n+1}}^{2}}}\right)=\left({\sum \limits _{i=1}^{n+1}{x_{i}^{2}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n+1}{y_{i}^{2}}}\right)}$

Таким образом неравенство доказывается для произвольного ${\displaystyle n}$ индукцией с базой ${\displaystyle n=2}$. Базу можно доказать любым из остальных способов (например, через неравенство ${\displaystyle (x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}\geq 0}$).^[7] Также для ${\displaystyle n=2}$ существуют наглядные геометрические доказательства.^[8][9]